УРОК 60

Тема. Розв'язування логарифмічних нерівностей

Мета уроку. Формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні нерівності.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учня відтворюють розв'язання вправ № 55 (2), 56 (3).

2. Колективне розв'язування вправ № 57 (1; 3).

 

II. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньо­му уроці

 

III. Сприймання і усвідомлення розв'язування найпростіших логарифмічних нерівностей

Як відомо, логарифмічна функція у = logа х зростає при a > 1, спадає — при 0 < a < 1. Із зростання функції у = logа x у першому випадку і спадання — у другому випадку випливає:

1) При a > 1 нерівність logа х2 > logа х1 рівносильна системі

2) При 0 < a < 1 нерівність logа х2 > logа х1 рівносильна системі

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Розв'яжіть нерівність log2 x < 3.

Розв'язання

Оскільки 3 = log223 = log28, то запишемо дану нерівність у вигляді log2 x < log28. Оскільки функція

у = log2x зростаюча при х > 0, то маємо:  отже, 0 < х < 8  (рис. 166).                              

Відповідь: х (0; 8).

Приклад 2. Розв'яжіть нерівність .

Розв'язання

Запишемо дану нерівність у вигляді:

. Оскільки функція  у = х спадна при х > 0, маємо:  отже, х  9 (рис. 167).

Відповідь: х [9; + ).

 

Як правило, логарифмічна нерівність зводиться до нерівно­стей виду: logaf(x) > logag(x), де а > 0, а ≠ 1.

Якщо а > 1, то нерівність logaf(x) > logag(x) рівносильна системі нерівностей:   

Якщо 0 < а < 1, то нерівність logaf(x) > logag(x) рівносильна системі нерівностей:  

Приклад 3. Розв'яжіть нерівність: loggg(x2 + х) > -1.

Розв'язання

Так як - 1 = log0,50,5-1 = log0,52, то log0,5(x2 + х) > log0,52.

Одержана нерівність рівносильна системі

  

Розв'язком першої нерівності (рис. 168) є (-; -1)(0; +).

 

 

Розв'язком другої нерівності (рис. 169) є [-2; 1].

 

 

Тоді маємо (рис. 170) x  [-2;-1)(0;1].

Відповідь: [-2; -1)(0; 1].

 

 

IV. формування умінь розв'язувати логарифмічні нерівності

Виконання вправ № 58 (2; 3; 7; 8; 10; 11; 12).

 

V. Підведення підсумків уроку

 

VI. Домашнє завдання

Розділ V § 3. Запитання і завдання для повторення розділу V № 33—34. Вправа № 58 (1; 4; 5; 6; 9).