АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів
УРОК 7
Тема. Тригонометричні функції числового аргументу
Мета уроку: Формування поняття тригонометричних функцій числового аргументу; вивчення значень тригонометричних функцій деяких чисел (кутів), зміни знаків тригонометричних функцій у координатних чвертях.
І. Перевірка домашнього завдання
Розв'язування вправ аналогічних до домашніх.
1. Подайте в радіанній мірі кути:
а) 5°; б) 1140°; в) -765°; г) 67° 5'.
Відповідь: а) ; б)
π; в)
π; г)
.
2. Подайте в градусній мірі кути:
а) ; б) 1,25π; в) 1; г) 10.
Відповідь: а) 105°; б) 225°; в) 57,32°; г) 573,25°.
3. Знайдіть довжину дуги, якщо на неї опирається центральний кут α = , а радіус кола дорівнює 10 м.
Відповідь: 9π м.
II. Сприймання і усвідомлення понять синуса, косинуса, тангенса і котангенса числа
Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 з центром у початку координат, яке називається одиничним (рис. 43). Позначимо точку Ро — правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у відповідність кожному дійсному числу α точку кола за такими правилом:
1) Якщо α > 0, то, рухаючись по колу із точки Ро в напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу кола), опишемо по колу шлях довжиною а, кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою Ρα.
2) Якщо α < 0, то, рухаючись із точки Ρо (рис. 44) в напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях довжиною |α|; кінець цього шляху і буде шукана точка Рα.
3) Якщо α = 0, то поставимо у відповідність точку Ро.
Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку Ρ0 одиничного кола.
Якщо α = αо + 2πk, де k — ціле число, то при повороті на кут α одержуємо одну і ту саму точку, що й при повороті на кут αо.
Якщо точка Ρ відповідає числу α, то вона відповідає і всім числам виду α + 2πk, де 2π — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k — ціле число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу сторону.
Виконання вправ
1. Яким числам відповідають точки Р0, Р, М, K, L, S (рис. 45), якщо відомо, що Ν — середина дуги Р0К, а дуги Р0Р, РМ, МК — рівні.
Відповідь: 2πn; +2πn;
+2πn;
+ 2πn;
+ 2πn; π + 2πn; -
+ 2πn, n
Z.
2. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам:
а) + 2πn , -
+ 2πn,
+ 2πn, -
+ 2πn, де n
Ζ;
б) + 2πn ,
+ 2πn ,
+ 2πn,
+ 2πn, -
+ 2πn, де n
Ζ.
Відповідь: а) рис. 46 (кожна чверть кола поділена на 2 рівні частини); б) рис. 47 (кожна чверть кола поділена на 3 рівні частини).
3. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам 1; 2; 3;-5. Відповідь: рис. 48.
Синусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної поворотом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається sin α) (рис. 49).
Синус визначений для будь-якого числа α.
Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної поворотом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається cos α) (рис. 49).
Косинус визначений для будь-якого числа α.
Виконання вправ
1. Обчисліть:
a) cos 7π; б) sin 7π; в) cos; г) sin
.
Відповідь: а) -1; б) 0; в) 0; г) 1.
2. Обчисліть:
a) ; б)
; в) sin π + sin 1,5π; г) cos0 + cos 3,5π - cos 3π.
Відповідь: а) 0; б) -1; в) -1; г) 2.
Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса: .
Тангенс визначений для всіх а, крім тих значень, для яких cos α = 0, тобто, α = + πn, n
Ζ.
Для розв'язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів (рис. 50). Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці Ρо. Нехай α — довільне число, для якого cos α 0, тоді точка Рα (cos α; sin α) не лежить на осі ординат і пряма ОРα перетинає t в деякій точці Тα з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Тα із трикутника ОРоТα.
; у = tgα.
Таким чином, ордината точки перетину прямих ОРα і t дорівнює тангенсу числа α. Тому пряму t називають віссю тангенсів.
Котангенсом числа α називається відношення косинуса числа α до його синуса: .
Котангенс визначений для всіх α, крім таких значень, для яких sin α 0, тобто, a = πn, n
Ζ.
Введемо поняття лінії котангенсів (рис. 51). Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці . Для довільного числа α, якщо sin α
0 і відповідно точка Рα (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма ОРα перетинає пряму q у деякій точці Qα з ординатою, що дорівнює 1. Із трикутника О
Qα маємо:
, звідси х = ctg α. Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОРα і q дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають віссю котангенсів.
Виконання вправ
1. Обчисліть: а) tg π; б) tg (-π); в) tg 4π; г) tg .
Відповідь: а) 0; б) 0; в) 0; г) не визначений.
2. Визначте знак числа: а) tg ; б) tg
; в) tg
; г) ctg
.
Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.
III. Визначення значень тригонометричних функцій деяких чисел
Через те що поворот на кут в α радіан співпадає з поворотом 180 на кут —α градусів, аргумент синуса і косинуса можна виразити як в градусах, так і в радіанах. Наприклад, при повороті точки (1; 0) на кут
, тобто на кут 90º, тому sin
= sin 90° = 1, cos
= cos 90° = 0.
Заповнимо таблицю значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких чисел (таблиця 4) або розглянемо таблицю 2 (стор. 31) підручника і виконаємо вправу 1.
Таблиця 4
α |
0 |
π |
2π |
|||||
0° |
30° |
45° |
60° |
90° |
180° |
270° |
360° |
|
sin α |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
|||
cos α |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
|||
tg α |
0 |
1 |
не існ. |
0 |
не існ. |
0 |
||
ctg α |
не існ. |
1 |
0 |
не існ. |
0 |
не існ. |
Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса інших чисел можна знайти за допомогою математичних таблиць або калькулятора.
Виконання вправ
1. Обчисліть:
а) 3sin + 2cos
– tg
;
б) 5sin +3tg
– 5cos
– 10ctg
;
в) ;
г) sin · cos
– tg
.
Відповідь: а) ; б)-7; в) -
; г) -
.
2. Обчисліть за допомогою мікрокалькулятора: а) sin 1,5; б) cos 0,5; в) tg ; г) сtg
.
Відповідь: а) 1,00; б) 0,88; в) 3,08; г) 2,75.
IV. Вивчення зміни знаків тригонометричних функцій
Число sin α — це ордината відповідної точки Рα, тому sin α > 0, якщо точка розташована вище осі абсцис, тобто в І і II чвертях (рис. 52). Якщо ця точка лежить нижче осі абсцис, то її ордината від'ємна в третій і четвертій чвертях.
Число cos α — це абсциса точки Рα, тому cos α > 0 в І та IV чвертях, cos α < 0 в II та III чвертях (рис. 53).
Так як ,
, то tg α > 0 і ctg α > 0, якщо sin α і cos α мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, і tg α < 0 і ctg α < 0 в II і IV чвертях (рис. 54).
Виконання вправ
1. У якій чверті знаходиться точка Ρα, якщо:
а) sin α > 0 і cos α > 0;
б) sin α > 0 і cos α < 0;
в) sin α < 0 і cos α > 0;
г) sin α < 0 і cos α < 0?
Відповідь: а) І; б) II; в) IV; г) III.
2. Якій чверті належить Рα, якщо:
а) sin α cos α > 0;
б) sin α cos α < 0;
в) tg α cos α > 0;
г) ctg α sin α < 0?
Відповідь: а) І або III; 6) II або IV; в) І або II; г) II або III.
3. Знайдіть знак виразу:
а) cos ; б) sin
; в) ctg (π + α); г) tg
, якщо 0 < α <
.
Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) плюс; г) плюс.
4. Визначте знак виразу:
а) sin105° – cos105°; б) cos155° – sin255°; в) tg127° · ctg200°; г) tg351° · ctg220°.
Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.
5. Визначте знак добутку:
а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1; б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4.
Відповідь: а) мінус; б) плюс.
V. Підсумок уроку
VI. Домашнє завдання
Розділ І § 4. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 40—42, 46. Вправи № 10, 12, 16, 21.