АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 7

Тема. Тригонометричні функції числового аргументу

Мета уроку: Формування поняття тригонометричних функцій числового аргументу; вивчення значень тригонометричних функцій деяких чисел (кутів), зміни знаків тригонометричних функцій у координатних чвертях.

І. Перевірка домашнього завдання

Розв'язування вправ аналогічних до домашніх.

1. Подайте в радіанній мірі кути:

а) 5°; б) 1140°; в) -765°; г) 67° 5'.

Відповідь: а) ; б) π; в) π; г) .

2. Подайте в градусній мірі кути:

а) ; б) 1,25π; в) 1; г) 10.

Відповідь: а) 105°; б) 225°; в) 57,32°; г) 573,25°.

3. Знайдіть довжину дуги, якщо на неї опирається центральний кут α = , а радіус кола дорівнює 10 м.

Відповідь: 9π м.

II. Сприймання і усвідомлення понять синуса, косинуса, тангенса і котангенса числа

Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 з центром у початку координат, яке називається одиничним (рис. 43). Позначимо точку Ро — правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у відповідність кожному дійсному числу α точку кола за такими правилом:

1) Якщо α > 0, то, рухаючись по колу із точки Ро в напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу кола), опишемо по колу шлях довжиною а, кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою Ρα.

2) Якщо α < 0, то, рухаючись із точки Ρо (рис. 44) в напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях довжиною |α|; кінець цього шляху і буде шукана точка Рα.

3) Якщо α = 0, то поставимо у відповідність точку Ро.

Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку Ρ0 одиничного кола.

Якщо α = αо + 2πk, де k — ціле число, то при повороті на кут α одержуємо одну і ту саму точку, що й при повороті на кут αо.

Якщо точка Ρ відповідає числу α, то вона відповідає і всім числам виду α + 2πk, де 2π — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k — ціле число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу сторону.

Виконання вправ

1. Яким числам відповідають точки Р0, Р, М, K, L, S (рис. 45), якщо відомо, що Ν — середина дуги Р0К, а дуги Р0Р, РМ, МК — рівні.

Відповідь: 2πn; +2πn; +2πn; + 2πn; + 2πn; π + 2πn; - + 2πn, n Z.

2. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам:

а) + 2πn , - + 2πn, + 2πn, -+ 2πn, де n Ζ;

б) + 2πn ,+ 2πn , + 2πn, + 2πn, - + 2πn, де n Ζ.

Відповідь: а) рис. 46 (кожна чверть кола поділена на 2 рівні частини); б) рис. 47 (кожна чверть кола поділена на 3 рівні частини).

3. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам 1; 2; 3;-5. Відповідь: рис. 48.

Синусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної поворотом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається sin α) (рис. 49).

Синус визначений для будь-якого числа α.

Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної поворотом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається cos α) (рис. 49).

Косинус визначений для будь-якого числа α.

Виконання вправ

1. Обчисліть:

a) cos 7π; б) sin 7π; в) cos; г) sin .

Відповідь: а) -1; б) 0; в) 0; г) 1.

2. Обчисліть:

a) ; б) ; в) sin π + sin 1,5π; г) cos0 + cos 3,5π - cos 3π.

Відповідь: а) 0; б) -1; в) -1; г) 2.

Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса: .

Тангенс визначений для всіх а, крім тих значень, для яких cos α = 0, тобто, α = + πn, n Ζ.

Для розв'язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів (рис. 50). Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці Ρо. Нехай α — довільне число, для якого cos α 0, тоді точка Рα (cos α; sin α) не лежить на осі ординат і пряма ОРα перетинає t в деякій точці Тα з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Тα із трикутника ОРоТα.

; у = tgα.

Таким чином, ордината точки перетину прямих ОРα і t дорівнює тангенсу числа α. Тому пряму t називають віссю тангенсів.

Котангенсом числа α називається відношення косинуса числа α до його синуса: .

Котангенс визначений для всіх α, крім таких значень, для яких sin α 0, тобто, a = πn, n Ζ.

Введемо поняття лінії котангенсів (рис. 51). Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці . Для довільного числа α, якщо sin α 0 і відповідно точка Рα (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма ОРα перетинає пряму q у деякій точці Qα з ординатою, що дорівнює 1. Із трикутника ОQα маємо: , звідси х = ctg α. Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОРα і q дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають віссю котангенсів.

Виконання вправ

1. Обчисліть: а) tg π; б) tg (-π); в) tg 4π; г) tg .

Відповідь: а) 0; б) 0; в) 0; г) не визначений.

2. Визначте знак числа: а) tg ; б) tg ; в) tg ; г) ctg .

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.

III. Визначення значень тригонометричних функцій деяких чисел

Через те що поворот на кут в α радіан співпадає з поворотом 180 на кут —α градусів, аргумент синуса і косинуса можна виразити як в градусах, так і в радіанах. Наприклад, при повороті точки (1; 0) на кут , тобто на кут 90º, тому sin = sin 90° = 1, cos = cos 90° = 0.

Заповнимо таблицю значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких чисел (таблиця 4) або розглянемо таблицю 2 (стор. 31) підручника і виконаємо вправу 1.

Таблиця 4

α	0					π		2π
α	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin α	0				1	0	-1	0
cos α	1				0	-1	0	1
tg α	0		1		не існ.	0	не існ.	0
ctg α	не існ.		1		0	не існ.	0	не існ.

Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса інших чисел можна знайти за допомогою математичних таблиць або калькулятора.

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) 3sin + 2cos – tg ;

б) 5sin +3tg – 5cos – 10ctg ;

в) ;

г) sin · cos – tg .

Відповідь: а) ; б)-7; в) -; г) -.

2. Обчисліть за допомогою мікрокалькулятора: а) sin 1,5; б) cos 0,5; в) tg ; г) сtg .

Відповідь: а) 1,00; б) 0,88; в) 3,08; г) 2,75.

IV. Вивчення зміни знаків тригонометричних функцій

Число sin α — це ордината відповідної точки Рα, тому sin α > 0, якщо точка розташована вище осі абсцис, тобто в І і II чвертях (рис. 52). Якщо ця точка лежить нижче осі абсцис, то її ордината від'ємна в третій і четвертій чвертях.

Число cos α — це абсциса точки Рα, тому cos α > 0 в І та IV чвертях, cos α < 0 в II та III чвертях (рис. 53).

Так як , , то tg α > 0 і ctg α > 0, якщо sin α і cos α мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, і tg α < 0 і ctg α < 0 в II і IV чвертях (рис. 54).