АЛГЕБРА
Уроки для 10 класів

УРОК 7

Тема. Тригонометричні функції числового аргументу


Мета уроку: Формування поняття тригонометричних функцій чис­лового аргументу; вивчення значень тригонометрич­них функцій деяких чисел (кутів), зміни знаків три­гонометричних функцій у координатних чвертях.

І. Перевірка домашнього завдання

Розв'язування вправ аналогічних до домашніх.

1. Подайте в радіанній мірі кути:

а) 5°; б) 1140°; в) -765°; г) 67° 5'.

Відповідь: а) ; б) π; в) π; г) .

2. Подайте в градусній мірі кути:

а) ; б) 1,25π; в) 1; г) 10.

Відповідь: а) 105°;  б) 225°; в) 57,32°; г) 573,25°.

3. Знайдіть довжину дуги, якщо на неї опирається центральний кут α = , а радіус кола дорівнює 10 м.

Відповідь: 9π м.


II. Сприймання і усвідомлення понять синуса, косинуса, тангенса і котангенса числа


Розглянемо на координатній площині коло радіуса 1 з центром у початку коорди­нат, яке називається одиничним (рис. 43). Позначимо точку Ро — правий кінець горизонтального діаметра. Поставимо у від­повідність кожному дійсному числу α точку кола за такими правилом:

1) Якщо α > 0, то, рухаючись по колу із точки Ро в напрямі проти годинникової стрілки (додатний напрям обходу ко­ла), опишемо по колу шлях довжи­ною а, кінцева точка цього шляху і буде шуканою точкою Ρα.

 

2) Якщо α < 0, то, рухаючись із точки Ρо (рис. 44) в напрямі за годинниковою стрілкою, опишемо по колу шлях дов­жиною |α|; кінець цього шляху і буде шукана точка Рα.

 

 

3) Якщо α = 0, то поставимо у відповідність точку Ро.

Таким чином, кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку Ρ0 одиничного кола.

Якщо α = αо + 2πk, де k — ціле число, то при повороті на кут α одержуємо одну і ту саму точку, що й при повороті на кут αо.

Якщо точка Ρ відповідає числу α, то вона відповідає і всім числам виду α + k, де 2π — довжина кола (бо радіус дорівнює 1), а k — ціле число, що показує кількість повних обходів кола в ту чи іншу сторону.

Виконання вправ


1. Яким числам відповідають точки Р0, Р, М, K, L, S (рис. 45), якщо відомо, що Ν — середина дуги Р0К, а дуги Р0Р, РМ, МК — рівні.

Відповідь: 2πn; +2πn; +2πn;  + 2πn;  + 2πn; π + 2πn; -  + 2πn, n  Z.


2. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам:


а)  + 2πn , -  + 2πn, + 2πn, -+ 2πn, де n  Ζ;

б+ 2πn ,+ 2πn , + 2πn, + 2πn, - + 2πn, де n  Ζ.

Відповідь: а) рис. 46 (кожна чверть кола поділена на 2 рівні частини); б) рис. 47 (кожна чверть кола поділена на 3 рівні частини).

 

 

3. Позначте на одиночному колі точки, які відповідають числам 1; 2; 3;-5. Відповідь: рис. 48.


 

 


Синусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної пово­ротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α раді­ан (позначається sin α) (рис. 49).

Синус визначений для будь-якого числа α.

Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної по­воротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан (позначається cos α) (рис. 49).

Косинус визначений для будь-якого числа α.

 

Виконання вправ

1. Обчисліть:

a) cos 7π; б) sin 7π; в) cos; г) sin  .

Відповідь: а) -1; б) 0; в) 0; г) 1.

2. Обчисліть:

a) ; б) ; в) sin π + sin 1,5π; г) cos0 + cos 3,5π - cos 3π.

Відповідь: а) 0; б) -1; в) -1; г) 2.


 

Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса: .

Тангенс визначений для всіх а, крім тих значень, для яких cos α = 0, тобто, α =  + πn, n  Ζ.

Для розв'язування деяких задач корисно мати уявлення про лінію тангенсів (рис. 50). Проведемо дотичну t до одиничного кола в точці Ρо. Нехай α — довільне число, для якого cos α  0, тоді точка Рα (cos α; sin α) не лежить на осі ординат і пряма ОРα перетинає t в деякій точці Тα з абсцисою 1. Знайдемо ординату точки Тα із трикут­ника ОРоТα.

; у = tgα.




Таким чином, ордината точки перетину прямих ОРα і t дорівнює тангенсу числа α. Тому пряму t нази­вають віссю тангенсів.

Котангенсом числа α називається від­ношення косинуса числа α до його синуса: .

Котангенс визначений для всіх α, крім таких значень, для яких sin α  0, тобто, a = πn, n  Ζ.

Введемо поняття лінії котангенсів (рис. 51). Проведемо дотичну q до одиничного кола в точці  . Для довільного числа α, якщо sin α  0 і відповідно точка Рα (cos α, sin α) не лежить на осі ОХ і тому пряма ОРα перетинає пряму q у деякій точці Qα з ординатою, що дорівнює 1. Із трикутника ОQα  маємо: , звідси х = ctg α. Таким чином, абсциса точки перетину прямої ОРα і q дорівнює котангенсу числа α, тому пряму q називають віссю котангенсів.



Виконання вправ

1. Обчисліть:  а) tg π;  б) tg (-π); в) tg 4π; г) tg .

Відповідь: а) 0; б) 0; в) 0; г) не визначений.

2. Визначте знак числа: а) tg ; б) tg ; в) tg ; г) ctg  .

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.


III. Визначення значень тригонометричних функцій деяких чисел

Через те що поворот на кут в α радіан співпадає з поворотом 180 на кут —α градусів, аргумент синуса і косинуса можна виразити як в градусах, так і в радіанах. Наприклад, при повороті точки (1; 0) на кут , тобто на кут 90º, тому sin = sin 90° = 1, cos = cos 90° = 0.

Заповнимо таблицю значень синуса, косинуса, тангенса і ко­тангенса деяких чисел (таблиця 4) або розглянемо таблицю 2 (стор. 31) підручника і виконаємо вправу 1.

 

Таблиця 4


α

0

π

2π

30°

45°

60°

90°

180°

270°

360°

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

не існ.

0

не існ.

0

ctg α

не існ.

1

0

не існ.

0

не існ.


Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса інших чи­сел можна знайти за допомогою математичних таблиць або каль­кулятора.

Виконання вправ

1. Обчисліть:

а) 3sin  + 2cos  – tg ;

б) 5sin  +3tg  – 5cos  – 10ctg ;

в)

г) sin · cos  – tg .

Відповідь: а) ; б)-7; в) -; г) -.

2. Обчисліть за допомогою мікрокалькулятора: а) sin 1,5; б) cos 0,5; в) tg ; г) сtg  .

Відповідь: а) 1,00; б) 0,88; в) 3,08; г) 2,75.


IV. Вивчення зміни знаків тригонометричних функцій

Число sin α — це ордината відповідної точки Рα, тому sin α > 0, якщо точка розташована вище осі абсцис, тобто в І і II чвертях (рис. 52). Якщо ця точка лежить нижче осі абсцис, то її ордината від'ємна в третій і четвертій чвертях.

 

Число cos α — це абсциса точки Рα, тому cos α > 0 в І та IV чвертях, cos α < 0 в II та III чвертях (рис. 53).


Так як , , то tg α > 0 і ctg α > 0, якщо sin α і cos α мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, і tg α < 0 і ctg α < 0 в II і IV чвертях (рис. 54).

 

Виконання вправ

1. У якій чверті знаходиться точка Ρα, якщо:

а) sin α > 0 і cos α > 0;    

б) sin α > 0 і cos α < 0;

в) sin α < 0 і cos α > 0;    

г) sin α < 0 і cos α < 0?

Відповідь: а) І; б) II; в) IV; г) III.

2. Якій чверті належить Рα, якщо:

а) sin α cos α > 0;          

б) sin α cos α < 0;

в) tg α cos α > 0;           

г) ctg α sin α < 0?

Відповідь: а) І або III; 6) II або IV; в) І або II; г) II або III.

3. Знайдіть знак виразу:

а) cos  ; б) sin ; в) ctg (π + α); г) tg , якщо 0 < α < .

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) плюс; г) плюс.

4. Визначте знак виразу:

а) sin105° – cos105°; б) cos155° – sin255°; в) tg127° · ctg200°; г) tg351° · ctg220°.

Відповідь: а) мінус; б) плюс; в) мінус; г) мінус.

5. Визначте знак добутку:

а) tg 2 · tg 3 · ctg 3 · cos 1;   б) sin 1 · cos 2 · tg 3 · ctg 4.

Відповідь: а) мінус; б) плюс.


V. Підсумок уроку


VI. Домашнє завдання

Розділ І § 4. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 40—42, 46. Вправи № 10, 12, 16, 21.






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити