Урок № 21

Тема. Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою

 

Мета: домогтися свідомого розуміння учнями властивості добутку степенів з однією основою та сформувати вміння перетворювати числові та буквені вирази з використанням цієї властивості.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

(Зібрати зошити)

 

II. Актуалізація, опорних знань

Виконання усних вправ

1.   Які з виразів с степенем з натуральним показником?

23; 2-5; 2 · (-5); (-5)2; -5 · (-2); (-5)-2.

Для степенів із натуральним показником назвіть основу та показник. Як записати ці степені у вигляді добутку? Обчисліть значення степеня.

2.   Не обчислюючи значення виразів, порівняйте їх з нулем:

(-5)13; (-5)12; -512; (х – 1)12; (х – 1)13 ; -(х – 1)12.

Які міркування ви використали?

3.   Знайдіть квадрати, куби, 4 та 5-ті степені чисел 2 і 3, заповніть таблицю:

 

n	2	3	4	5
2n
3n

 

III. Робота з випереджальним домашнім завданням

Завдання. Доведіть, що добуток а3 і а2 дорівнює а5.

@ Учні використовують алгоритм доведення (див. додаток і міркування, що їх було використано під час виконання випереджального домашнього завдання).

Додаток

Алгоритм доведення

1.   Установи і сформулюй проблему, яку треба довести.

2.   Дай означення поняттям, за допомогою яких буде здійснюватись доведення.

3.   Добери достатньо ґрунтовні аргументи.

4.   Визнач спосіб і логіку доведення.

5.   Зроби висновок.

Аргументи (підстави) — судження, істинність яких перевірена й доведена практикою. Головною характеристикою є істинність, тобто відповідність дійсності.

@ Зрозуміло, що виконання цієї роботи буде легким для учнів, бо у випереджальному завданні є натяк на ті дії, що передбачені алгоритмом. Тому по виконанні цього завдання не виникає сумніву в тому, що a3 · a2 = a5.

Порівняйте ліву й праву частину рівності. Сформулюйте гіпотезу.

 

IV. Засвоєння знань. Проблемна ситуація

Завдання 1. Довести, що а5 · а8 = а13; а · а12 = а13.

Завдання 2. Довести, що а13 · а27 = а40.

Завдання 3. Як подати у вигляді степеня добуток а135 · а247 ?

1)  Усвідомлюємо суть усіх завдань: за аналогією з розв'язаними раніше намагаємось довести, що добуток двох степенів з однією основою є степенем з тією самою основою, а показник — сума показників множників.

2)  Обираємо спосіб доведення (за аналогією з випереджальним домашнім завданням), але, щоб «узагальнити» запис, замінюємо числові показники буквами й формулюємо твердження, що є основою для розв'язування завдань 1—3.

Доведіть, що аn · аm = аn+m, якщо а — будь-яке число; m і n — натуральні числа.

Доведіть (за алгоритмом та аналогією з доведеного рівністю а3 · а2 = а5) може провести вчитель або запропонувати виконати учням.

Запис у зошитах може мати такий вигляд:

 

Конспект 7

Добуток степенів з однією основою

1. Якщо а — будь-яке число; m, n — натуральні числа, то аn · аm = аn+m.

Доведення

.

2. Приклади:

а5 · а8= а5+8 = а13; а13 · а27 = а40; а135 · а247 = а382.

Зауваження, а · а11 = а12, бо а = а1. (Така домовленість)

 

V. Застосування знань, умінь та навичок

@ Завдання на закріплення розуміння учнями основної властивості степеня (аm · аn = аm+n) передбачають:

1)  закріплення термінології;

2)  засвоєння умінь перетворювати добуток степенів з однаковою основою у степінь;

3)  засвоєння вмінь перетворювати степінь на добуток степенів з однією основою;

4)  повторення вивчених властивостей степенів з парними й непарними показниками.

Тому система завдань, що допоможе вчителю та учням досягти визначеної мети, може бути такою:

 

Виконання усних вправ

1.   Який з добутків виразів можна подати у вигляді степеня з використанням основної властивості степеня:

а3 · а5; а3 · b5; а3 · а2 · а7; (а + b)2(а + b)3; 3m ·3n; 32 · 92; m3 · n3?

Чому?

2.   Подайте вираз у вигляді степеня:

х5 · х7; 5 · 52; а · а3; у4 · у6 · у; 102 ·10 · 103;  с · с · с3; z · z5; 74 · 49; (-6) · (-6)3 · (-6); a2n · an.

3.   Який вираз треба поставити замість *, щоб рівність а2 · а* = а6 була правильною? Чому?

Виконання письмових вправ

1.   Подайте у вигляді степеня добуток:

1) m5 · m3;

2) х · х6;

3) а4 · а4;

4) 54 · 54;

5) у3 · у8 · у5;

6) с7 · с · с2;

7) (m – n)8(m – n)3;

8) (u + v)3·(u + v);

9) (a – b)(a – b)(a – b)2;

10) х2п · х2n-2;

11) хn · х5.

2.   Замініть * на степінь так, щоб рівність стала правильною:

1) a8 · * = a13;

2) a11 · * · a = a16.

3.   Знайдіть значення змінної, при якому буде правильною рівність:

1) 45 · 43 = 45+х;

2) 23 · 22 = 21+x;

3) 2n · 25 = 27;

4) 34 · 3n = 37;

5) 75 · 7x = 72х-1;

6) 75 · 7x = 715-2х.

4*. Спростіть вираз:

1) а10 · а12 ·(-а5);

2) х · (-х) · (-х6);

3) уn · у8 · у2;

4) bn · bn · b3.

5*. Подайте у вигляді добутку двох множників, один з яких а5, такі вирази:

1) a10; 2) a6; 3) -a40.

6*. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) 25 · 8; 2) 4 · 8; 3) 7n · 49; 4) 27 · 3n.

@ Перед виконанням порівняємо умови вправи № 6 із розв'язаними попередньо і знайдемо відмінність (множники якщо і є степенями, то з різними основами), отже, спираючись на № 3 поданих вправ, замінюємо множник(и) степенями з однаковими основами й використовуємо основну властивість степеня.

7. Логічна вправа. Знайдіть пропущені записи:

 

                       

 

V. Підсумки уроку. Рефлексія

На окремих картках записано етапи використання основної властивості степеня для спрощення виразів; картки пропонуються учням в хаотичному порядку, наприклад:

 

1) показники додати

2) перевірити, чи рівні основи

3) основу не змінюємо

4) якщо показник не записано, вважаємо його за 1

 

Учням пропонується встановити правильний порядок дій під час пошуку відповідей на запитання:

Як знайти добуток степенів з однією основою?

 

VI. Домашнє завдання

№ 1. Подайте у вигляді степеня добуток:

1) а9 · а2; 2) а · а7; 3) b3 · b3; 4) 711 · 73; 5) m4 · m5 · mn; 6) c19 · с · сn; 7) (a+b)(a+b)7; 8) n9 · n4 ·nk+1 ·n.

№ 2. Замініть * степенем з основою а, щоб утворилась правильна рівність:

1) а11 · * = a13; 2) a3 · * · a = a25.

№ 3. Подайте у вигляді степеня: 1) 58 · 25; 2) 312 · 27; 3) 29 · 16.

№ 4. Випереджальне домашнє завдання. Які правильні рівності можна записати з того, що a · b = c?

(Як знайти множник а; множник b?)

Які рівності, відповідно, випливають з того, що а3 · а2 = а5

(за умови, що а≠0)?

Як прочитати ці рівності словами?