Урок № 69

Тема. Рівняння із двома змінними та його розв'язок

 

Мета: сформувати уявлення про рівняння із двома змінними та його розв'язки; усвідомити зміст поняття «графік рівняння із двома змінними»; виробити вміння: відбирати перевіркою розв'язки рівняння із двома змінними; працювати з готовим графіком рівняння із двома змінними; перетворювати рівняння виду у = f(x) та обчислювати розв'язки рівняння із двома змінними.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Хід уроку

I. Організаційний момент

 

II. Перевірка домашнього завдання

@ Учитель збирає зошити, щоб перевірити якість корекційної роботи учнів та творче завдання.

 

III. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1.   Розв'яжіть рівняння:

3х = 6; 3х + 2 = 6; 6х = 3; 6 + х = 3; 6 + x = 2x – x + 6, 3х + 5 = 3х + 7.

Що означає «розв'язати рівняння»?

2.   Складіть рівняння за умовою задачі:

1)  довжина прямокутника х, ширина 3 м, а периметр 20 м;

2)  ширина прямокутника х, довжина на 4 м більша, а периметр 20 м;

3)  ширина прямокутника х, довжина у м, а периметр 20 м.

Якщо можна, розв'яжіть рівняння, знайдіть довжини сторін прямокутника.

3.   Чи належить графіку функції у = 3х + 2 точка А(1; -5); В(3;11); С(0; 2)? Чому?

4.   Чи є дана рівність правильною: 2 · 1 + 3 · (-1) = 5; 2 · 0,5 + 3 · (-1) = -2?

 

IV. Формулювання мети й завдань уроку

Після повторення основних понять, вивчених у темі «Лінійні рівняння з однією змінною», та виконання усних вправ і складання рівнянь разом з учнями формулюємо мету: познайомитись із тим новим видом рівняння, що зустрівся нам під час розв'язування одного із завдань.

 

V. Вивчення нового матеріалу

@ Нове поняття «рівняння з двома змінними» вводиться на прикладах (так само, як і «рівняння з однією змінною»), а потім формулюється означення рівняння з двома змінними та означення розв'язку такого рівняння як впорядкованої пари чисел — значень змінних, що перетворюють рівняння на правильну рівність, так само, як і корінь рівняння з однією змінною. Це означення повинно бути добре зрозумілим усім учням. Поняття рівносильних рівнянь із двома змінними будується на відомих учням поняттях рівносильних рівнянь та властивостях рівносильних рівнянь. І взагалі, автор вважає, що формування нових знань учнів буде більш результативним, а знання — більш свідомими, якщо під час вивчення нового матеріалу звернутись до прийому аналогії (рівняння з однією зміною). З цього випадає лише поняття графіка рівняння з однією змінною, але це є винятком, що підтверджує справедливість правила. Тому й записи в зошитах учнів можуть мати вигляд порівняльної таблиці, в якій виділено ключові слова.

 

Конспект 21
Вид твердження	Рівняння з однією змінною	Рівняння з двома змінними
1) Приклад	х + 5 = 8	х + у = 8
2) Опис	Рівність, що містить невідоме число, позначене буквою (змінна)	Рівність, що містить два невідомих числа, позначених буквою (змінні)
3) Супутні поняття	Корінь рівняння із першою змінною — значення змінної, що перетворює рівняння на правильну рівність	Розв'язання рівняння із двома змінними - впорядкована пара чисел (х;у), за яких рівняння перетворюється на правильну рівність
4) Рівносильні	рівняння з однією змінною — мають однакові корені або взагалі не мають коренів	рівняння з двома змінними — мають одні й ті самі розв'язки або обидва не мають розв'язків
5) Властивості рівносильних рівнянь	Однакові
6) Графік	?	Фігура, що складається з точок (х; у), таких, що їх координати — розв'язки рівняння

 

VI. Закріплення матеріалу. Вироблення вмінь

Виконання усних вправ

1.   Чи є розв'язком рівняння х – 2у = 6 пара чисел (0; 0); (2; -2); (8; 1); (0; 3); (15; 4); (6; 0); (5; -5,5)?

2.   Точки А(...; 0); В(0; ...); С(1; ...); D(...; -3) належать графіку рівняння  3х – у = 6. Знайдіть пропущені координати.

3.   Виразіть змінну у через змінну х (зведіть рівняння до вигляду y = f(x)) шляхом виконання тотожних перетворень: х + у = 1; 5х + 5у = 0;

х – у = 2. За утвореною формулою знайдіть два розв'язки кожного рівняння.

 

Виконання письмових вправ

1.   Пари значень х та у внесено в таблицю. Які з них є розв'язками рівняння 1) х2 + у2 = 25; 2) х2 – у2=7?

 

х	-5	-4	-3	-1	0	3	4	5
у	0	3	4	1	-5	4	-3	0

 

2.   Виразіть із рівняння змінну у через змінну х. Використовуючи утворену формулу, знайдіть три будь-які розв'язки рівняння:

1) х + у = 27;

2) 2х – у = 4,5;

3) 3х + 2у = 12;

4) 5у – 2х = 1.

3.   Які з точок А(-2; -5); В(4; 1); С(1; -4); D(2; 2) належать графіку рівняння х2 – 2ху + у3 = 0?

4.   Доведіть, що рівняння:

1)  х2 + у2 = -1 не має розв'язків;

2)  х2 + у2 = 0 має тільки один розв'язок.

Додатково. Серед розв'язків рівняння х + 2у = 18 знайдіть таку пару, яка б складалась із двох однакових чисел.

 

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Що називається розв'язком рівняння з двома змінними? Чи є пара (2; 1) розв'язком рівнянь: 2у – х2 = -2; 3х – у = 4; х2 – у3 = 3; ху = 3?

2.   Які рівняння з двома змінними називають рівносильними? Наведіть приклад.

3.   Що таке графік рівняння з двома змінними?

 

VIII. Домашнє завдання

№ 1. Вивчіть зміст основних понять та складіть алгоритми:

а) «Як перевірити, чи є пара (х;у) розв'язком рівняння з двома змінними»;

б) «Як знайти розв'язки рівняння з двома змінними».

№ 2. Виразивши змінну у через х, знайдіть три будь-які розв'язки рівняння:

1) ху – 12 = 0; 2) 3х – у = 10.

№ 3. Які з точок А(-3; 12); В(2; -1); С(0; 3) належать графіку рівняння х2 – у + 3 = 0?

№ 4. На рисунку побудовані графіки рівнянь 3х – у = 10 і 8у – х = 12. Для кожного з рівнянь знайдіть за його графіком декілька розв'язків. Використовуючи рисунок, укажіть таку пару чисел, яка є розв'язком як першого, так і другого рівняння, перевірте відповідь обчисленням.