АЛГЕБРА
Усі уроки для 8 класів

Урок № 47

Тема. Означення квадратного рівняння. Неповні квадратні рівняння та їх розв'язування

 

Мета: домогтися свідомого розуміння учнями означення квадратного рівняння, зведеного квадратного рівняння, неповного квадратного рівняння, назви коефіцієнтів квадратного рівняння; сформувати первинні вміння формулювати означення квадратного рівняння та його видів (зведеного та неповного), визначати коефіцієнти квадратного рівняння та за ними визначати вид квадратного рівняння; підготувати учнів до сприйняття наступного матеріалу (розв'язування неповних квадратних рівнянь).

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Квадратні рівняння».

Хід уроку

І. Організаційний етап

На цьому етапі уроку слід надати учням інформацію про:

·   орієнтовний план вивчення розділу;

·   кількість навчальних годин;

·   приблизний зміст матеріалу;

·   основні вимоги до знань та вмінь учнів;

·   орієнтовний зміст завдань, що будуть винесені на контрольну роботу.

(Цю інформацію можна помістити на стенді «Довідково-інформаційний куточок» у кабінеті математики та запропонувати учням для самостійного ознайомлення в позаурочний час).


II. Перевірка домашнього завдання

Якщо аналіз контрольної роботи учні виконували в письмовій формі, вчитель збирає зошити на перевірку.


III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою усвідомлення учнями логіки вивчення матеріалу, пропонуємо їм схему, що відтворює основні змістові лінії шкільного курсу алгебри та зв'язок між ними:

 

 

Число → Числовий вираз → Буквений вираз → Рівняння, нерівність →  Задача → Функція

 


Підставивши в цю схему ірраціональне число та узагальнивши вивчений матеріал, доходимо до висновку, що після ознайомлення із видами і способами перетворень виразів, які містять квадратний корінь, слід перейти до вивчення всіх видів рівнянь (крім вивчених раніше рівнянь х2 = а і , розв'язування яких пов'язано з вивченими властивостями ірраціональних виразів. Таким чином формулюється основна мета уроку.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

@ З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння: поняття многочлена стандартного вигляду та його коефіцієнтів; виконання арифметичних дій з многочленами, виконання рівносильних перетворень рівнянь, виконання арифметичних дій із дійсними числами.


Виконання усних вправ

1.   Подайте у вигляді многочлена вираз: (х – 2)(2 + х); (х – 3)2; (у3 – у)∙у; (у – 1)(у + 2).

2.   Чи рівносильні рівняння:

а) 3х – 2 = х + 3 і 2х – 5 = 0;

б) 5х – 1 = 3х – х2 і х2 + 2х – 1 = 0;

в) 0,5х – 3 = 0 і х – 6 = 0;

г) 5х2 – 10х + 25 = 0 і х2 – 2х + 5 = 0?

Обґрунтуйте відповіді.

3.   Розв'яжіть рівняння:

а) у – 7 = 0; б) х + 0,5 = 0; в) 8х = 0; г) 2х –  = 0; д) у +  = 0; е) а(а – 1) = 0; ж) ; з) х2 – 4 = 0; и) 2х2 + 8 = 0; к) х2 – 3 = 0.

 

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Означення квадратного рівняння. Коефіцієнти квадратного рівняння.

2.   Зведене квадратне рівняння.

3.   Неповне квадратне рівняння. Види неповних квадратних рівнянь.

 

Конспект 12

Квадратні рівняння

1. Означення:

 

ах2 + bх + с = 0, а 0, b і с — будь-які дійсні числа

 

Квадратні рівняння

2.   Види квадратних рівнянь:

 

Неповні квадратні рівняння:

 

 

b = 0, ах2 + с = 0

c = 0, ax2 + bx=0

с = b = 0, ах2 = 0

 

Якщо b = 0 або с = 0 або b = с = 0

 

ах2 + bx + c =0, а0

 

Якщо а = 1

 

Зведене квадратне рівняння

 


х2 + px + q = 0


 

3. Розв'язування квадратних рівнянь

а) Неповні квадратні рівняння:

с = 0,

ax2 + bx = 0,

х(ах + b) = 0,

x = 0 або aх + b = 0. Завжди два корені:

x = 0,

b = 0,

ах2 + с = 0,

ах2 = – с, .

Якщо  , то корені:

ах2 = 0,

х = 0.

Завжди один корінь

х = 0

 

б) Квадратні рівняння загального вигляду:

ах2 + bх + с = 0, а 0

 

Дискримінант

 

 

D = b2 – 4ac

Якщо b = 2k, k  Z, то

 

↓                                                                                 

 

Якщо D < 0 (D1< 0)                

 

Якщо D = 0 (D1 = 0)

 

Якщо D > 0 (D1 > 0)

 

 

дійсних коренів немає

 

 

 

4. Властивості коренів квадратних рівнянь:

а) х2 + рх + q = 0 має корені, то

б) ах2 + bх + с = 0 має корені, то

 

@ Формулюючи означення квадратного рівняння (як рівняння виду ах2 + bх + с = 0, де а0), щоб попередити помилки у визначенні коефіцієнтів квадратного рівняння, важливо вказати учням на той факт, що:

·   знаки «+» у записі лівої частини рівняння лише показують, що ліва частина рівняння є многочленом (тобто сумою одночленів). Тому коефіцієнти квадратного рівняння визначаються так само, як і коефіцієнти многочлена стандартного вигляду (бажано поновити в пам'яті учнів ці знання під час розв'язування відповідних усних вправ на етапі актуалізації знань);

·   усі коефіцієнти квадратного рівняння (крім а) можуть набувати будь-яких дійсних значень (в тому числі можуть бути нулем). Тому, щоб учні не мали проблем, сприймаючи поняття неповного квадратного рівняння, на початку знайомства з поняттям квадратного рівняння слід запропонувати достатню кількість прикладів квадратних рівнянь, коефіцієнти яких набувають різних за знаком та видом значень.

Для розуміння означень видів квадратних рівнянь важливо, щоб учні засвоїли назви коефіцієнтів квадратного рівняння. Цьому сприятиме багаторазове повторення матеріалу під час виконання усних і письмових вправ.

Уявлення про види квадратних рівнянь формується за традиційною схемою. Ці види виділяються під час розгляду особливих випадків коефіцієнтів квадратного рівняння.


VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1.   Укажіть серед поданих рівнянь квадратні: а) 5х – 2 = 0; б) х2 – х + 1 = 0; в) ; г) ; д) х3 – х = 0; е) 5х2 + х = 0.

Для квадратних рівнянь назвіть значення їх коефіцієнтів.

2.   Серед рівнянь виберіть: 3х2 – 2х + 7 = 0; ; х2 – 9 = 0; 2х2 + 7 – 5х2 = 0; 6х2 = 0; 3 – х2 = 0.

а) зведені;

б) неповні квадратні рівняння.

3.   Запишіть рівняння у вигляді ах2 + bх + с = 0 (якщо це можливо): -5 – 2х + х12 = 0; х2 – 3 = 0; 5х – х2 = 0.

 

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мети уроку слід виконати завдання такого змісту:

1.   Знаходження коефіцієнтів квадратною рівняння.

1) Заповніть таблицю:

Квадратне рівняння

Коефіцієнти рівняння

ах2 + bх + с = 0

а

b

с

 

4

1

3

-2х2 – 3х + 1 = 0

 

 

 

 

1

0

-24

 

3

-5

0

5х2 – 8 = 0

 

 

 

 

7

0

0

 

2) Укажіть у квадратному рівнянні його коефіцієнти:

а) 5х2 – 9х + 4 = 0;

б) х2 + 3х – 10 = 0;

в) -х2 – 8х + 1 = 0;

г) -4х2 + 5х = 0;

д) 6х2 – 30 = 0;

є) 9х2 = 0.

2.   Запис квадратного рівняння із заданими коефіцієнтами. Запишіть квадратне рівняння, коефіцієнти якого дорівнюють:

      а) а = 2; b = -3; с = 1;

      б) а = 3; b = 0; с = -7;

в) а = -1; b = 4; с = 5;

г) а = - 6; b = -2,4; с = ;

д) а = 1; b = ; с = 0;

є) а = 2; b = 0; с = 0.

3.   Запис зведеного квадратного рівняння, рівносильного даному. Запишіть зведене квадратне рівняння, рівносильне даному:

а) 2х2 + 2х – 6 = 0;

б) -4х2 – 10х + 8 = 0.

4.   Зведення цілого рівняння до виду ах2 + bх + с = 0 шляхом тотожних перетворень.

Зведіть рівняння до виду ах2 + bх + с = 0:

a) (2x – 1)(2x + 1) = x(2x + 3);

б) (3х + 2)2 = (х + 2)(x – 3);

в) (х + 1)(х + 2) = (2х – 1)(x – 2);

г) (х + 3)(3х – 2) = (4х + 5)(2х – 3).

5.   На повторення: завдання, розв'язування яких передбачає виділення повного квадрата двочлена з квадратного тричлена.

6.   Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Порівняйте з нулем значення дробу (відповідь запишіть у вигляді нерівності): а) ; б) .

2) Видаліть зайвий запис:

а) 3х2 – 5x + 1 = 0;

б) х2 – 4х = 0;
в) (х – 1)2 – (3х – 1)2 = 0;

г) (х – 1)2 (х + 2)2 = 0.

@ Мета перших 4-х видів письмових завдань (див. вище) — домогтися засвоєння учнями означення квадратного рівняння та його різновидів, сформувати в учнів уміння правильно називати та визначати коефіцієнти квадратного рівняння, а також повторити види рівносильних перетворень рівнянь та поновити в пам'яті способи дій під час виконання цих перетворень. Завдання на повторення мають на меті підготувати учнів до сприйняття ними матеріалу наступного розділу «Формула коренів квадратного рівняння».

 

VII. Підсумки уроку

В якому випадку правильно визначено коефіцієнти?

У рівнянні 5х + х2 – 4 = 0 коефіцієнти a, b, c відповідно дорівнюють: а) 1; 5; -4; б) 5; 1;-4; в) -4; 5; 1; г) 1; -4; 5.

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст теоретичного матеріалу уроку.

2.   Розв'язати вправи на закріплення вивченого матеріалу (аналогічних за змістом до вправ класної роботи).

3.   На повторення: вправи на виділення повного квадрата двочлена.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити