АЛГЕБРА
Усі уроки для 8 класів

Урок № 51

Тема. Теорема Вієта

 

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду; сформувати вміння відтворювати вивчені твердження, використовувати їх для розв'язування завдань, передбачених програмою з математики.

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Теорема Вієта».

Хід уроку

І. Організаційний етап


II. Перевірка домашнього завдання

Самостійна робота № 11 (з корекцією)

Застосування формули коренів квадратного рівняння

 

Варіант 1

Варіант 2

Розв'яжіть рівняння:

а) х2 + 5x 14 = 0;

б) 3у2 – 3у + 4 = 0;

в) 25х2 + 60х + 36 = 0;

г) (2х 1)(4x2 + 2x + 1) (2x + 5)(4x2 7) = 41 + x2;

д)

а) х2 – 14х + 40 = 0;

б) 12т2 + т + 6 = 0;

в) 4х2 + 4х + 1 = 0;

г) (3х + 1)(2х2 + х – 3) – (3x + 4)(2x2 x 5) = x2 + 17;

д)


III. Формулювання мсти і завдань уроку

Для створення позитивної мотивації навчальної діяльності учнів можна під час проведення самостійної роботи запропонувати учням виконати випереджальне завдання: розв'язати квадратні рівняння і для кожного з тих, що мають корені, знайти їхню суму і добуток. На етапі корекції (див. вище), перевіряючи правильність виконання завдань, слід запропонувати учням не просто порівняти свої відповіді з правильними, але й порівняти отримані відповіді (суми та добутки коренів) з коефіцієнтами квадратних рівнянь. Якщо учні помітять певні закономірності самі, вчителеві достатньо сформулювати проблему: необхідно дослідити існування загальних властивостей коренів будь-якого квадратного рівняння та виразити ці властивості у вигляді формул, сформувати вміння застосовувати ці властивості в розв'язуванні типових завдань.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

@ Для успішного сприйняття навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння учнів: означення квадратного рівняння, неповних квадратних рівнянь та зведених квадратних рівнянь, визначення коефіцієнтів квадратного рівняння, формул для розв'язування квадратних рівнянь (дискримінанта та коренів), виконання арифметичних дій з дійсними числами.


Виконання усних вправ

1.   Розв'яжіть рівняння: а) х2 – 25 = 0; б) а2 – 5а = 0; в) у2 + 9 = 0; г) n2 – 19 = 0; д) 5х2 = 0,2.

2.   Назвіть перший, другий коефіцієнти і вільний член квадратного рівняння: а) а2 + 4а – 1 = 0; б) у2 – 3 = 0; в) 2b2 – 5b = 0; г) 3 – 2х2 – х = 0; д) 3с2 = 0.

3.   Знайдіть значення виразів: ; ; ; ; ; .

 

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння: формулювання і доведення.

2.   Теорема Вієта для квадратного рівняння загального виду: формулювання і доведення:

1) теорема, обернена до теореми Вієта.

2) приклади застосування вивчених теорем.

 


 

Конспект 13

Теорема Вієта

1.

Для зведеного квадратного рівняння:

 

Якщо х2 + рх + q = 0 має корені х1 і х2 (D > 0), то

 

 

 

 

х1 + х2 = -р; х1 · х2 = q

 

2.

Для квадратних рівнянь загального вигляду:

 

 

Якщо ах2 + bх + с =0 має корені х, і х2 (D >0), то

 

 

 

 

;

 

 

 

 

3.   Обернена теорема:

 

Якщо числа m і n такі, що m + n = -p, mn = q, то

 

 

m і n — корені рівняння х2 + pх + q = 0

 

4.   Застосування:

а) розв'язування зведених квадратних рівнянь «підбором»?

х2 – 2х – 3 = 0:

х1 + х2 = 2, х1 · х2 = -3  х1 = 3, х2 = -1.

б) розв'язування рівнянь ах2 + bх + с = 0, де


а + с = b,


а + с = - b,






x1 = -1,


x1 = 1,



3х2 + 2х – 1 = 0,

3 – 1 = 2,

х1 = -1,


3х2 – 2х – 1 = 0,

3 – 1 = 2 = - (- 2),

х1 = 1,


 

@ Формулювання і доведення теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння учні зазвичай сприймають досить легко. Єдине, в чому часто помиляються, – це запис значення суми коренів квадратного рівняння: замість числа, протилежного другому коефіцієнту, учні часто вказують другий коефіцієнт. Щоб попередити ці помилки, достатньо розв'язати усні вправи.

Теорема Вієта для квадратного рівняння загального вигляду доводиться досить легко через теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння.

·   Доведення теореми, оберненої до теореми Вієта, зазвичай не є обов'язковим для всіх учнів: його пропонують для самостійного опрацювання учням, які мають високий рівень знань та вмінь.

Останній пункт плану показує практичну значимість вивчених теорем: на цьому етапі вивчення матеріалу слід продемонструвати учням застосування теореми Вієта та оберненої до неї теореми для відшукання коренів зведеного квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами без обчислення дискримінанта (підбором). Коментуючи дії, що супроводжують пошук коренів зведеного квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами із використанням вивчених теорем, слід показати учням послідовність міркувань, яка допоможе знайти корені «методом підбору»: спочатку записати, чому дорівнює сума і добуток коренів, потім визначити, які знаки коренів (за знаком добутку). Якщо вони однакові, то модуль суми коренів дорівнює сумі модулів коренів, якщо вони різні, — модуль суми коренів дорівнює різниці модулів коренів; наприкінці розкладаємо модуль вільного члена на множники, що задовольняють попередню умову.


VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1.   Складіть зведене квадратне рівняння, в якому сума р і добуток q його коренів дорівнюють:

а) р = - 5; q = 4; б) р = 15; q = -6; в) р = - 5; q = 0; г) p = 0; q = -2.

2.   Один із коренів квадратного рівняння х2 + 4х – 21 = 0 дорівнює - 7. Знайдіть другий корінь.

(Розв'язати задачу різними способами.)

 

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати завдання такого змісту:

1.   Чи є дані числа коренями квадратного рівняння із заданими коефіцієнтами.

Чи є дані числа коренями рівняння?

а) х2 – 2,5х + 1 = 0, числа 2 і 0,5; б) х2 + 20х – 125 = 0, числа -5 і 25.

2.   Знаходження коренів квадратного рівняння та виконання перевірки за теоремою, оберненою до теореми Вієта.

1) Знайдіть за формулою корені рівняння і виконайте перевірку за теоремою, оберненою до теореми Вієта:

а) х2 – 13х + 40 = 0;

б) х2 + 6х + 5 = 0.

2) Розв'яжіть рівняння і виконайте перевірку за теоремою, оберненою до теореми Вієта:

а) х2 – 2х – 9 = 0;

б) 3х2 – 4х – 4 = 0;

в) 2х2 + 7х – 6 = 0;

г) 2х2 + 9х + 8 = 0.

3.   Знаходження суми і добутку коренів квадратного рівняння.

1) Кожне з рівнянь має корені. Знайдіть суму і добуток цих коренів:

а) 3х2 – 4х + 1 = 0;

б) 10х2 + х – 3 = 0.

2) Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:

а) х2 – 37х + 27 = 0;

б) у2 + 41у – 371 = 0;

в) х2 – 210х = 0;

г) у2 – 19 = 0;

д) 2х2 – 9х – 10 = 0;

є) 5х2 + 12х + 7 = 0;

ж) -z2 + z = 0;

з) 3х2 – 10 = 0.

4.   Знаходження коренів квадратного рівняння із використанням теореми, оберненої до теореми Вієта.

1) Знайдіть корені рівняння за теоремою, оберненою до теореми Вієта:

а) х2 – 3х + 2 = 0;

б) х2 – 5х + 6 = 0;

в) х2 + 7х + 12 = 0;

г) х2 + 3х + 2 = 0;

д) х2 – 5х + 4 = 0;

є) х2 – 8х – 9 = 0;

ж) х2 + 4х + 3 = 0;

з) х2 – 2х – 3 = 0;

и) х2 + 2х – 15 = 0.

2) Знайдіть підбором корені рівняння:

а) х2 – 9х + 20 = 0;

б) х2 + 11х – 12 = 0;

в) х2 + х – 56 = 0;

г) х2 – 19х + 88 = 0.

5.   Знаходження невідомого кореня та невідомого коефіцієнта квадратного рівняння, якщо відомий другий корінь та два коефіцієнти квадратного рівняння.

1) Знайдіть   вільний   член   q  зведеного  квадратного  рівняння х2 + px + q = 0, якщо його коренями є числа: 5; - 3; -2; -6.

2) У рівнянні х2 + рх – 35 = 0 один із коренів рівняння дорівнює 7. Знайдіть другий корінь і коефіцієнт р.

6.   Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Доведіть, що рівняння 7х2 + bх – 23 = 0 при будь-яких значеннях b має один додатний і один від'ємний корені.

2) Знайдіть пропущене число:

х2 – 5х + 6 = 0

13

х2 + 6х + 8 = 0

20

х2 + 2х – 3 = 0

?

 

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

1) Сума коренів рівняння 5х2 – 9х – 2 = 0 дорівнює: а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

2) добуток коренів рівняння 5х2 + 3x – 2 = 0 дорівнює: а) -2; б) 2; в) 0,4; г) інша відповідь.

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст та схеми доведення теореми Вієта та оберненої теореми.

2.   Розв'язати вправи на застосування вивчених теорем.

3.   На повторення: розв'язати квадратні рівняння за формулою.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити