АЛГЕБРА
Усі уроки для 8 класів

Урок № 58

Тема. Рівняння, що зводяться до квадратних

 

Мета: засвоєння учнями основних видів цілих рівнянь, розв'язання яких зводиться до розв'язування квадратних рівнянь, та схем їх розв'язування; сформувати вміння виділяти вивчені види рівнянь серед інших рівнянь, а також використовувати відомі схеми для розв'язування названих видів рівнянь.

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Рівняння, що зводяться до квадратних».

Хід уроку

I. Організаційний стан


II. Перевірка домашнього завдання

Оскільки завдання домашньої роботи були такого самого типу, як і вправи класної роботи, то під час перевірки приділяємо увагу лише завданням підвищеної складності (традиційно це завдання на розкладання виразів вищих степенів на множники, у розв'язуванні яких використовується прийом заміни змінних).


ІІІ. Формулювання мети і завдань уроку

Вчитель ще раз нагадує учням про те, що вміння розв'язувати квадратні рівняння є одним із найважливіших для подальшого вивчення не тільки алгебри, але й багатьох суміжних дисциплін. Так, тема цілком присвячена вивченню питання про сферу застосування набутих умінь під час розв'язування завдань, передбачених програмою з математики у 8 класі.

На цьому уроці буде вивчено питання про застосування вмінь розв'язувати квадратні рівняння в розв'язуванні деяких інших видів рівнянь.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

@ З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння: застосовувати основні поняття, пов'язані з поняттям рівняння з однією змінною; виконання арифметичних дій з дійсними числами; алгоритм розв'язання найпростіших дробово-раціональних рівнянь; застосування різних способів розв'язання квадратних рівнянь різних видів.

Виконання усних вправ

1.   Скоротіть дроби: ; ; ; ; ; .

2.   Знайдіть корені рівнянь: х2 – 64 = 0; у2 + 49 = 0; 2р2 – 7р = 0; т2 = 0; 2х2 + 4х – 1 = 0; х2 + 3х + 4 = 0.

3.   При яких значеннях змінної х вираз 3х – 1 набуває значень: 0; -2; 3; ?

4.   Виконайте множення: (x + 1)(x 1); (x + 1)(x 3); (x + 1)(x + 2); (x 1)(x 4).


V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Приклади рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом уведення нової змінної (заміною змінних). Як розв'язувати такі рівняння?

2.   Яке рівняння називають біквадратним рівнянням? Як розв'язати біквадратне рівняння?

3.   *Як розв'язати рівняння виду (х + а)(х + b)(х + с)(х + d) = A, де a + d = b + c?


 

 

1.

Конспект

Рівняння, що зводяться до квадратних

Шляхом виконання заміни змінних:

a)

У рівнянні аР2n(х) + bРn(х) + с = 0, де а 0,

 

 

Р(х) — многочлен від змінної х

 

 

Заміна: Рn(х) = t (t 0), тоді Р2n(х) = t2,

 

 

тоді

 

 

аР2n(х) + bРn(х)с = 0  at2 + bt + c = 0

 

 

Особливий випадок:

 

 

ах4 + bх2 + с = 0 — біквадратне рівняння

 

 

Заміна: х2 = t (t ≥ 0)

 

 

ах4 + bх2 + с = 0  at2 + bt + c = 0

 

б)

У рівнянні виду:

 

 

(х + a)(х + b)(х + с)(х + d) = m

 

 

Якщо a + d = b + с, то помножити парами (х + a)(х + d) і (х + b)(х + с)

 

 

Заміна: х2 + (а + d)x = t,

 

 

тоді

 

 

(х + a)(х + b)(х + с)(х + d) = т  (t + ad)(t + bс) = m

 

2.

Шляхом рівносильних перетворень: дробово-раціональні рівняння:

 

 

рівняння вигляду , де P(х) і Q(х) — многочлени від однієї змінної, рівносильні системі:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@ Програмою з математики в розділі «Рівняння, що зводяться до квадратних» передбачено вивчення способів розв'язування цілих рівнянь, що зводяться до квадратних шляхом введення нової змінної, а також дробово-раціональних рівнянь.

На уроці проводиться ознайомлення учнів із загальною схемою розв'язання рівнянь, що перетворюються на квадратні шляхом введення нової змінної. Якщо на попередньому уроці учні добре засвоїли прийом переходу до нової змінної у ході розкладання виразів на множники, то на цьому уроці в учнів не повинно бути проблем із розумінням схеми розв'язування рівнянь шляхом уведення нової змінної – схема розв'язування рівнянь таким методом майже співпадає зі схемою перетворення виразів (додається один пункт – після виконання оберненої заміни розв'язати здобуте рівняння).

Що стосується біквадратних рівнянь, то їх можна розглядати як особливий випадок рівнянь, що були розглянуті вище, тому слід зауважити, що складена вище схема використовується і під час розв'язування цих рівнянь (можна наголосити на тому, що, на відміну від інших подібних рівнянь, у біквадратних рівняннях завжди «спрацьовує» заміна х2 = t).

Якщо учні мають високий рівень навчальних досягнень, їх можна ознайомити зі способом перетворення рівнянь виду (х + a)(х + b)(х + с)(х + d) = А, де a + d = b + c, до рівнянь виду аР2(х) + bР(х) + с = 0, де Р(х) – многочлен від однієї змінної, з тим, щоб потім розв'язати утворене рівняння розглянутим вище способом.


VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1.   Яку заміну слід виконати в рівнянні, щоб дістати квадратне рівняння:
а) (х2 + 6х + 9) – 2(х + 3) – 3 = 0;

б) (х2 + 6х + 9)2 – 2(х + 3)2 – 3 = 0;

в) (х2 + 6х)2 – 2(х2 + 6х) – 3 = 0.

2.   Які квадратні рівняння дістанемо в завданні 1, якщо виконаємо відповідну заміну?

 

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мсти уроку слід розв'язати завдання такого змісту:

1.   Розв'язування рівнянь різного виду, що зводяться до квадратних уведенням нової змінної. Розв'яжіть рівняння:

а) (х2 – 1)2 – 11(х2 – 1) + 24 = 0;

б) (х2 + 2х)2 – 2(х2 + 2х) – 3 = 0.

2.   Розв'язування біквадратних рівнянь.

Розв'яжіть рівняння: а) 2х4 – 9х2 + 4 = 0; б) 36х4 – 7х2 – 4 = 0.

3.   Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Розв'яжіть рівняння:

а) (х2 + 5х)(х2 + 5х – 2) = 24;

б) (2х2 + х + 1)(2х2 + х + 3) = 8;

в) (х2 – 5х + 7)2 – (х – 2)(х – 3) = 1;

г) (х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 120;

д) (x 1)x(x + 1)(x + 2) = 24;

e) (х + 3)2(х + 2)(х + 4) = 12.

2) Розв'яжіть рівняння: а) ; б) .

3) Розв'яжіть рівняння: а) х – 6 + 5 = 0; б) х +  – 6 = 0; в) ; г) ; д) ; є) .

4) Знайдіть пропущений вираз:

х2 + х – 6

х2 – 2х – 15

а3b

bc3

?

 

4.   На повторення: завдання на перетворення раціональних виразів; на розв'язування дробових рівнянь (такого рівня складності, як було розв'язано в темі «Раціональні вирази»).

@ У ході розв'язування письмових вправ на відпрацювання вмінь застосовувати схему, що передбачає введення нової змінної для переходу від даного рівняння до квадратного, слід вимагати від учнів урахування кількох важливих моментів:

·      якщо вводити заміну то тільки ефективну (щоб у результаті переходу до нової змінної рівняння з неквадратного перетворилось на квадратне);

·      розв'язувати новоутворене квадратне рівняння відносно його змінної (типова помилка учнів - виконання подібних записів: t2 + 4t + 3 = 0, х1 = -1, х2 = -3);

·      обов'язковим етапом розв'язування рівняння шляхом введення нової змінної є виконання оберненої заміни (звісно, у випадку, коли рівняння, здобуте після заміни, має корені).

Вправи на повторення є підготовчими до сприйняття матеріалу наступного уроку.

 

VII. Підсумки уроку

В якому випадку правильно виконано записи?

а) х4 3х2 + 2 = 0. Заміна: х2 = t, х4 = t2, тоді t2 – 3t + 2 = 0; x1 = 1, х2 = 2.

Відповідь. 1; 2.

б) х4 3х2 + 2 = 0. Заміна: х2 = t, х4 = t2, тоді t2 – 3t + 2 = 0, t1 = 1, t2 = 2.

Обернена заміна: х2 = 1 або х2 = 2, маємо: х1 = 1, х2 = .

Відповідь. 1; .

в) х4 – 3х2 + 2 = 0. Заміна: х2 = t (t ≥ 0), тоді t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1, t2 = 2;

обернена заміна: х2 = 1 або х2 = 2, маємо: х = ±1, х = .

Відповідь. ±1; .

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити схеми розв'язання рівнянь, що зводяться до квадратних уведенням нової змінної.

2.   Розв'язати вправи на застосування вивченої схеми.

3.   На повторення: завдання на перетворення раціональних виразів; на розв'язування дробових рівнянь (такого рівня складності, як було розв'язано під час вивчення теми «Раціональні вирази»).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити