АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів

УРОК № 1

Тема. Числові нерівності. Доведення числових нерівностей

 

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту: означення, що виражає залежність між співвідношеннями >,<,= і знаком різниці лівої та правої частин нерівності; поняття числової нерівності та уявлення про види числових нерівностей; поняття «довести нерівність» та алгоритму доведення нерівностей. Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять і алгоритмів та застосовувати їх для розв'язування вправ на порівняння числових та буквених виразів і вправ на доведення нерівностей у найпростіших випадках.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 1.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель розповідає про особливості вивчення алгебри й організацію навчального процесу в 9 класі, наголошуючи на необхідності підготовки до державної підсумкової атестації; аналізує будову підручника.

 

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Учитель перевіряє літнє домашнє завдання (якщо таке було задано).

 

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення основного питання уроку (означення, що виражає залежність між співвідношеннями >, <, = і знаком різниці лівої та правої частин нерівності), пропонуємо таке завдання.

Завдання

Визначте, який із записів зайвий. Відповідь обґрунтуйте.

1)  25 > 17; 0,32 < 0,4; 0,5 = 1,4 – 0,9;

2)  25 > 17; 0,32 < 0,4; 0,5 < 1,4 – 0,9.

Після обговорення з учнями результатів виконання запропонованого завдання формулюється такий висновок: у 7 класі було вивчено питання про види, властивості й способи перетворення виразів, що не містять ділення на змінну (цілі вирази); у 9 класі настав час вивчити способи порівняння виразів. Цей висновок і є по суті основною дидактичною метою всього розділу.

 

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів 
Усні вправи

1.   Порівняйте числа:

1) 6,09 і 6,9;       

2) 13 і 13;     

3) -11,4 і -10,4.

2.   Порівняйте вирази:

1) (-3)14 і (-3)13;

2) (-2,4)15 і (-3,1)18;

3) -2,416 і (-2,4)16.

3.   Знайдіть різницю чисел  і  і порівняйте її з нулем.

4.   Яке з чисел лежить праворуч на числовій осі:

1) -24 чи 12;       

2) -3 чи -8;         

3) -0,5 чи -0,8;   

4)  чи ?

5.   Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз:
1) у2 + 2у + 1;            

6.   2) а2 – 10а + 25;     

3) m2 + 6m + 9;          

4) а – 2b  ≥ 0, b ≥ 0).

 

VФормування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Означення, що виражає залежність між співвідношеннями >, <, = і знаком різниці лівої та правої частин нерівності.

2.   Види числових нерівностей.

3.   Алгоритм доведення числових нерівностей.

4.   Приклад доведення числової нерівності.

 

Опорний конспект № 1

 

Означення. Число а більше від числа b, якщо а – b > 0; число а менше від числа b, якщо а – b < 0.

3 цього означення випливає умова рівності двох чисел: число а дорівнює числу b, якщо а - b = 0.

Види числових нерівностей

Числові нерівності поділяють на такі види:

1) за знаком — строгі (а > b, а < b) і нестрогі (а  ba ≤ b);

2) за змістом — правильні (3 > 2) і неправильні (3 > 4).

Алгоритм доведення числових нерівностей

Щоб довести, що нерівність f(x) < g(x) (f(x) > g(x)) правильна при будь-яких значеннях змінних, треба:

1) знайти різницю лівої та правої частин нерівності: f(x) – g(x);

2) перетворити (спростити, виділити повний квадрат тощо) різницю так, щоб можна було визначити її знак (< 0, > 0; = 0 );

3) скориставшись означенням, зробити висновок.

Приклад. Доведемо нерівність а(а – 4) < (а – 2)2.

Доведення. Знайдемо різницю лівої та правої частин нерівності та перетворимо її:

а(а – 4) – (а – 2)= а2 – 4а – (а2 – 4а + 4) = а2 – 4а – а2 + 4а - 4 = -4.

Оскільки різниця лівої та правої частин нерівності дорівнює -4 < 0, то за означенням ліва частина менша від правої, тобто а(а – 4) < (а – 2) при будь-яких а.

 

Методичний коментар

Вивчення матеріалу уроку починається з формулювання загального означення понять «більше», «менше» або «дорівнює», яке є узагальненням правил порівняння різних видів дійсних чисел, які було вивчено протягом попередніх років навчання в школі. При вивченні цього питання слід наголосити на тому, що сформульоване означення є універсальним, тобто може бути використане не тільки для порівняння будь-якого виду чисел, але й для порівняння виразів (перед формулюванням означення на етапі актуалізації опорних знань та вмінь доцільно виконати з учнями усні вправи, див. вище).

Після формулювання означення вчитель має провести роботу зі систематизації знань учнів про види нерівностей: вони поділяються за знаком та за змістом (див. опорний конспект № 1). При цьому можна провести паралелі з видами числових рівностей (до речі, такі паралелі бажано проводити і під час вивчення властивостей числових нерівностей), тобто учні мають усвідомити, що нерівності, так само, як і рівності,— це записи певного виду, але за змістом вони поділяються на правильні та неправильні.

З розгляду видів нерівностей цілком логічно випливає питання про доведення того факту, що дана нерівність є правильною (або визначення правильності чи неправильності даної нерівності). Таким чином формулюється уявлення учнів про зміст поняття «довести нерівність», а також про послідовність дій для доведення нерівності (алгоритм доведення нерівності), яка далі ілюструється відповідним прикладом на доведення числової нерівності.

 

VIФормування вмінь

Усні вправи

1.   Порівняйте з нулем різницю правої та лівої частин нерівності:

1) х < у;      2) а ≥ b;    3) 3 > х;    4) m ≤ 2.

2.   Відомо, що m n. Чи може m – n дорівнювати:

1) -3;          2) 0;         3) 0,3;       4) а2?

3.   Порівняйте числа m і nn і р, m і р, які зображені точками на координатній прямій (див. рисунок).

 

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1)  порівняти числа за даним значенням їхньої різниці;

2)  зобразити числа на координатній прямій, враховуючи дані про їх порівняння;

3)  порівняти дійсні числа за означенням;

4)  порівняти вирази при різних значеннях змінних;

5)  довести нерівності (найпростіші випадки).

 

Методичний коментар

Для кращого засвоєння учнями змісту матеріалу уроку рекомендується при виконанні відповідних вправ неодноразово повторювати означення (включаючи також і умову рівності чисел). Важливо відпрацювати вміння виконувати порівняння чисел через геометричні уявлення в прямому і зворотному порядку (одне число більше за друге, якщо воно лежить на координатній прямій правіше, і навпаки, якщо число лежить правіше на координатній прямій, то воно більше). При відпрацюванні вмінь застосовувати алгоритм доведення числових нерівностей слід вимагати від учнів чітких і послідовних записів у зошитах та докладних коментарів при усних поясненнях. Оскільки даний урок є першим у цій темі, то на ньому розв'язуються вправи на доведення нерівностей, які передбачають отримання певного числового значення різниці лівої та правої частин нерівності (більш складні випадки, що передбачають виділення повного квадрата, або інші способи визначення знака різниці лівої та правої частин нерівності, будуть розглянуті на наступному уроці).

 

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Заповніть пропуски:

1) m n, якщо m ... n ... 0;

2) х < у, якщо х ... у ... 0;

3) х ... у, якщо х – у = 0.

2.   Що означає запис: 1) a > b2) c < d?

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити означення понять, розглянутих на уроці.

2.   Розв'язати вправи: на порівняння чисел за даним значенням їхньої різниці; порівняння дійсних чисел за означенням; доведення нерівностей (найпростіші випадки).

3.   Повторити: формули скороченого множення (зокрема квадрат двочлена), властивості степеня з парним і непарним натуральним показником.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити