АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів

УРОК № 22

Тема. Функція , її властивості та графік

 

Мета уроку: сформувати знання учнів про означення, вид графіка та алгоритм побудови графіка квадратичної функції. Сформувати первинні вміння розпізнавати квадратичну функцію серед інших елементарних функцій, знаходити координати вершини та напрям віток графіка квадратичної функції, виконувати побудову графіка квадратичної функції за вивченими алгоритмами. Повторити загальні властивості функцій, а також схеми виконання основних видів геометричних перетворень графіків функцій.

Тип уроку: формування знань, вироблення первинних умінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 15, роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашніх вправ).

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.


II. Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити з виконаним домашнім завданням на перевірку (роботи можна оцінити як домашню самостійну роботу). На уроці можна озвучити найскладніші моменти домашнього завдання. Правильні розв'язання можна дати учням для самостійного опрацювання у вигляді роздавального матеріалу.


III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Якщо учні мають хоча б первинне уявлення про структуру шкільного курсу алгебри (цю інформацію вчитель міг надати учням раніше, ще на початку вивчення даного розділу), то вони знають, що функціональна лінія є однією з п'яти основних змістовних ліній шкільного курсу алгебри, а тому вивчення способів побудови графіків функцій шляхом геометричних перетворень пов'язане з необхідністю розгляду інших, окрім названих нижче, елементарних функцій. Також учні мають усвідомити той факт, що, вивчивши способи геометричних перетворень графіків функцій, можна побудувати графік будь-якої алгебраїчної функції, рівняння якої утворене з найпростіших рівнянь функцій: y = kx; у = ; у = х2; у = х3; у = . Тому цілком логічно після вивчення способів перетворень графіків елементарних функцій вивчити питання про інші, крім названих, види функцій та їхні графіки. Однією з таких функцій є функція, графік якої можна утворити з графіка функції у = х2 шляхом виконання одного або кількох геометричних перетворень, — квадратична функція. Ці слова вчителя визначають основну дидактичну мету уроку.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Виділіть повний квадрат у виразі:

1) х2 + 2х + 1;            

2) х2 + 2х + 2;            

3) х2 + 2х;

4) -х2 – 2х – 1;            

5) -х2 – 2x – 2;            

6) -х2 – 2х + 2.

2.   Опишіть перетворення, за Допомогою якого з графіка y = f(x) можна побудувати графік функції g(x), якщо:

1) g(x) = -f(x);            

2) g(x) = 2f(x);            

3) g(x) = f(x);

4) g(x) = f(x + 2);                

5) g(x) = f(x) – 2.

3.   Розв'яжіть рівняння:

1) х2 + х = 0;              

2) х2 + 2x + 1 = 0;

3) x2 3x + 2 = 0;               

4) 2х2 – 5х + 2 = 0.

4.   Назвіть коефіцієнти квадратного тричлена:

1) 3х2 – 5х + 2;           

2) х2 – 5х;           

3) -х2 – 2;           

4) -х2;                         

5) х2.


V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Означення квадратичної функції.

2.   Графік квадратичної функції.

3.   Алгоритм побудови графіка функції y = ax2 + bx + c.


Опорний конспект № 15

 

Функція виду у = ax2 + bx + c, де а  0, називається квадратичною.

Наприклад:  — квадратичні функції.

Графік квадратичної функції — парабола, вітки якої напрямлені вгору, якщо а > 0, і вниз — якщо а < 0.

Координати вершини (х0; у0) параболи графіка у = ах2 + bх + с обчислюються за формулами:

;  або

Наприклад: у функції у = х2 + 2х – 3, яка є квадратичною, графік — парабола. Вітки параболи напрямлені вгору (а = 1 > 0), а координати вершини:

;   

або y0 = f (-1) = (-1)2 + 2(-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -5 + 1 = -4.

Тобто вершина параболи (-1; - 4).

 

Побудова графіка функції у = ах2 + bх + с, а 0.

 

 

Спосіб 1

Спосіб 2

 

 

1. Обчислити абсцису вершини

2. Підставити х0 у рівняння і знайти у0.

3. Побудувати параболу у = ах2 з вершиною в точці (х0; у0). Якщо а > 0, вітки параболи напрямлені вгору, якщо а < 0 — вниз.

4. Для більшої точності побудови знайти точки перетину графіка з координатними осями.

1. Виділити повний квадрат:

ах2 + bх + с = а=

= а= .

2. Використавши схему геометричних перетворень графіків функцій, виконати побудову параболи у = х2, потім її розтягнення (або стиснення) до параболи у = ах2, а потім виконати паралельне перенесення у = ах2 вздовж осі Ох на – m і вздовж осі Оу на n.

 

 

 

 

Методичний коментар

На даному уроці починається кропітка робота з вивчення властивостей квадратичної функції та вироблення сталих умінь учнів виконувати побудову графіка квадратичної функції за загальною схемою [7, с. 48].

Традиційно вивчення цього питання проводилось у два етапи: спочатку вивчалось питання про вид графіка та властивості функції у = ах2, а далі вже вивчались властивості та вид графіка функції у = ах2 + bх + с. Проте відповідно до змін у програмі 12-річної школи в порівнянні з попередньо діючою програмою вивчення питання про вид графіка та властивості квадратичної функції у 9 класі 12-річної школи доцільно провести дедуктивним методом: сформулювати загальне означення квадратичної функції у = ах2 + bх + с, потім довести, що її графіком буде парабола певного виду (через перетворення рівняння квадратичної функції виділення квадрата двочлена), після чого сформулювати загальний алгоритм побудови графіка квадратичної функції; а вже після цього розглянути окремі випадки квадратичної функції та зробити відповідні поправки до загального алгоритму побудови її графіка.

При формуванні знань учнів про зміст означення квадратичної функції слід звернути увагу на той факт, що в означенні вказано лише обмеження для старшого коефіцієнта квадратного тричлена в правій частині рівняння у = ах2 + bх + с, а це означає, що інші коефіцієнти кожний окремо та разом можуть набувати різних за знаком значень, а також дорівнювати 0 (слід розглянути відповідні приклади).

При вивченні питання про побудову графіка квадратичної функції слід нагадати учням, що графік функції у = х2, з якого, власне, і починається побудова графіка квадратичної функції, будується по точках (з урахуванням симетричності параболи).

 

VI. Формування первинних умінь

Усні вправи

1.   Яка з наведених функцій є квадратичною:
1) у = х2;    

2) у = х2 + 2;      

3) у = -х2 – 2х + 1;      

4) у = х2 – х + х3?

2.   На рисунку зображено графік функції у = ах2 + bх + с. Використавши подані на рисунку умови, укажіть:

1)      знак числа а в рівнянні у = ах2+Ьх + с;

2)      координати вершини параболи;

3)      вісь параболи.

 

3.   Визначте координати точок перетину з осями Ох і Оу графіка функції:

1) у = х2 – 2х + 1;                    

2) у = х2 – 3х + 2;

      3) у = х2 + х + 2.

 

Письмові вправи

Зміст вправ уроку може бути таким:

1)  визначити, чи є дана функція квадратичною;

2)  за даним рівнянням квадратичної функції визначити напрям віток, координати вершини, нулі функції (якщо вони є) та координати точки перетину параболи з віссю ординат;

3)  побудувати графік квадратичної функції загального вигляду та окремих випадків;

4)  на повторення: для функцій, графіки яких будуть побудовані протягом уроку, визначити область значень, проміжки зростання та спадання, проміжки, на яких функція додатна або від'ємна.

 

Методичний коментар

Як усні, так і письмові вправи уроку передбачають закріплення знань учнів про зміст вивчених на уроці понять та вироблення вмінь використовувати ці поняття та алгоритми для побудови графіків квадратичних функцій. Вправи на повторення (на визначення основних властивостей квадратичної функції за побудованим графіком) спрямовані, по-перше, на вироблення навичок роботи з графіками, а по-друге, підготовляють учнів до сприйняття матеріалу наступного уроку (узагальнення властивостей квадратичної функції).

 

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Опишіть, що являє собою графік функції:
1) y = х2;    

2) у = 2х2;  

3) y = 2(x – 1)2 + 1;    

4) у = 2х2 – 4х + 1.

2.   Який із наведених графіків відповідає рівнянню у = х2 – 2х? Відповідь обґрунтуйте.

 

 

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити означення квадратного рівняння, алгоритм побудови графіка квадратичної функції (див. опорний конспект № 15).

2.   Розв'язати вправи різного рівня складності на застосування вивченого алгоритму.

3.   Повторити властивості функції, формулу коренів квадратного рівняння.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити