АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів

УРОК № 3

Тема. Основні властивості числових нерівностей

 

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями змісту основних властивостей числових нерівностей та їхніх наслідків, а також способу доведення цих властивостей. Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених властивостей, наслідків із них і їх доведення; застосовувати властивості числових нерівностей та наслідки з них для розв'язування вправ на порівняння буквених виразів та на доведення відповідних нерівностей.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення первинних умінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 3.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

 

II. Перевірка домашнього завдання

Учні виконують самостійну роботу № 1 [8].

 

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

На цьому етапі уроку доречним буде слово вчителя про те, що:

·  вивчення будь-якого математичного поняття включає в себе вивчення означення, властивостей та ознак цього поняття (якщо такі існують), а також питання про зв'язок поняття, що вивчається, із вивченим раніше матеріалом;

·  незважаючи на досить велику зовнішню відмінність, що існує між рівностями і нерівностями, вони мають дуже багато спільних властивостей (у цьому місті доречно буде продемонструвати кілька найпростіших прикладів з числовими рівностями та відповідними числовими нерівностями), але при цьому мають суттєві відмінні властивості (також можна навести кілька прикладів з числовими рівностями та нерівностями).

Тому цілком логічно буде сформулювати завдання на урок як вивчення властивостей числових нерівностей (через їх порівняння з відповідними властивостями числових рівностей); доведення цих властивостей із використанням вивченого на попередніх уроках означення, а також опанування учнями прийомів застосування доведених властивостей для розв'язування задач на доведення нерівностей.

Як варіант роботи на цьому етапі уроку (за умови відповідного рівня інтелектуальної активності учнів) моделюємо проблемну ситуацію (порівняти числа), розв'язання якої неможливе без вивчення властивостей числових нерівностей. У цьому разі завданням уроку є розв'язання протиріччя між обсягом знань учнів, які в них є, та тими знаннями, які є необхідними для розв'язання поставленого завдання.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Порівняйте числа х і у, якщо різниця х – у дорівнює: 1) 8;  2) 0;        3) -1,5.

2.   Доведіть нерівність:

1) х – 3 > х – 4; 

2) х2 + у2 2ху;  

3) b +  ≥ 2, b > 0;

4) , а0.

3.   Чи є правильним твердження:

1) якщо а = b, то b = а;                        

2) якщо а = b, b = с, то а = с;

3) якщо а = b, то а + с = b + с;    

4) якщо а = b, то а – с = b – с;

5) якщо а = b, то ас = bс;            

6) якщо а = b , то = ?

 

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Основні властивості числових нерівностей.

2.   Наслідки з властивостей числових нерівностей.

3.   Приклади застосування властивостей числових нерівностей та наслідків із них.

 

Опорний конспект № 3

 

Основні властивості числових нерівностей

1.    Якщо a > b, то b < a.

Доведення

a > b  a – b > 0  b – a = -(a – b) < 0  b < a.

2.    Якщо a < b, b < c, то a < c.

Доведення

a < b  a – b < 0; b < c  b – c < 0, тобто (ab) + (b – c)<0.

(a – b) + (b – c) = a – b + b – c = a – c < 0 a < c.

3.   Якщо а < b, а с — будь-яке число, то а + с < b + с.

Доведення

a < b  a – b < 0; a – b = a + c – c – b = (a + c) + (b + c) < 0  a + c < b + c.

4.   Якщо a < b, c > 0, то aс < bс і .

      Якщо а < b, с < 0, то ас > bc; .

Доведення

a < b ab < 0; acbc = c(ab), причому якщо с > 0, то с(а – b) < 0, а якщо с < 0, то с(а – b)>0.

Отже, якщо а < b і с > 0, то ас < bc; c < 0, то ас > bс.

Нерівності  і  доводимо аналогічно.

Наслідки з властивостей числових нерівностей

1.    Якщо а < b + с, то а – с < b.

Доведення

a < b + c  a – (b + c) < 0, тоді а – b – с = (а – с) – b < 0, тобто а – с < b.

2.   Якщо а > 0 і b > 0, і a < b, то .

Доведення

a < b a – b < 0. .

.

Приклад. Відомо, що а < b. Порівняємо значення виразів: 2а + 3 і 2b + 5.

Розв'язання

а < b | ∙ 2; оскільки 2 > 0, то 2а < 2b | + 3; 2а + 3 < 2b + 3.

3 < 5 | + 2b; оскільки 2 > 0, то 2b + 3 < 2b + 5.

Отже, 2а + 3 < 2b + 5.

 

Методичний коментар

Одним із найважливіших базових умінь учнів, передбачених програмою з математики, є вміння здійснювати аргументовані міркування щодо оцінки значень виразів. Роботу з вироблення таких умінь було розпочато на попередніх двох уроках, проте на цих уроках для аргументації дій учнів були використані лише означення порівняння чисел та в окремих випадках опорні нерівності. На даному уроці учні мають взяти на озброєння більш різноманітний перелік способів, представлених основними властивостями числових нерівностей. При формуванні знань учнів про ці властивості слід звернути увагу на такі моменти, які сприятимуть більш свідомому засвоєнню учнями навчального матеріалу:

доведення властивостей числових нерівностей ґрунтується на означенні порівняння чисел (тобто ведеться через порівняння з нулем різниці лівої та правої частин деякої нерівності);

зміст властивостей бажано викласти як математичною мовою (у вигляді серії логічно пов'язаних між собою нерівностей), так і в словесній формі;

властивість 4 (див. опорний конспект № 3) виконується в даному вигляді тільки у випадку, коли числа додатні;

закріплення змісту кожної з доведених властивостей слід провести на певному конкретному прикладі.

Виходячи з вище сказаного, формування знань учнів бажано провести із якомога широким залученням учнів до роботи з доведення властивостей числових нерівностей.

 

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1.   Порівняйте числа:

1) m і n, якщо n > m;           

2) m + 3 і n + 3, якщо m > n;

3) 3m і 3n, якщо m > n;                

4) m і k, якщо m > n; n > k.

2.   Відомо, що а > 5. Визначте (з обґрунтуванням), чи є правильною нерівність:

1) а + 4 > 9;               

2) 3а > 15;         

3) –а < -5.

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1)  порівняти значення виразів, які містять змінні а і b, якщо відомо, наприклад, що, а < b;

2)  використовуючи властивості числових нерівностей, записати правильні числові нерівності, що випливають з даної числової нерівності;

3)  вправи, обернені до вправ, що розв'язувалися на уроці № 1;

4)  довести числову нерівність, спираючись на властивості числових нерівностей.

 

Методичний коментар

Набір вправ, що дається для закріплення знань властивостей числових нерівностей і вироблення вмінь їх застосовувати для порівняння виразів, є традиційним. Традиційними залишаються вимоги, яких мають дотримуватись учні під час розв'язування цих вправ. Такими обов'язковими вимогами є:

·   чітке та повне відтворення відповідних властивостей числових нерівностей під час коментування учнями своїх дій при розв'язуванні запропонованих вправ;

·   обов'язкове покрокове письмове обґрунтування дій при застосуванні властивостей числових нерівностей.

 

VII. Підсумки уроку

Контрольне завдання

У наведених твердженнях знайдіть і виправте помилки, ураховуючи, що m > n > 0, с > 0.

1) n < m;            

2) m + с < n + с;        

3) m + с < n;

4) сm > сn;        

5) ;                   

6) .

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст та доведення властивостей числових нерівностей (див. опорний конспект № 3).

2.   Розв'язати вправи на застосування властивостей числових нерівностей, аналогічні вправам класної роботи.

3.   На повторення: поняття подвійної нерівності та вправи на застосування цього поняття.

 





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити