АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів

УРОК № 50

Тема. Арифметична прогресія. Формула n-го члена арифметичної прогресії

 

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями: означення арифметичної прогресії, відповідної термінології (різниця арифметичної прогресії); рекурентної формули та основних властивостей арифметичної прогресії (включаючи характеристичну властивість).

Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають виділення арифметичної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули арифметичної прогресії, а також використання її властивостей.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 29.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.


II. Перевірка домашнього завдання

Для з'ясування рівня засвоєння учнями змісту понять попереднього уроку вчитель пропонує їм виконати тестові завдання [9, тест 19] з наступною перевіркою і корекцією.


III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності виділення та подальшого вивчення властивостей послідовностей, винесених у тему уроку, можна запропонувати їм виконати вправу на порівняння або логічну вправу на виключення зайвого.

Після виконання таких вправ учні усвідомлюють, що серед нескінченної кількості різних за видами числових послідовностей, крім названих на попередньому уроці видів, можна виділити (за іншими критеріями) інші види. Серед них окремо стоять послідовності, у яких наступний член дорівнює попередньому члену, доданому до того самого числа. Після такого умовиводу формулюється основна дидактична мета уроку: вивчити означення, дати назву та дослідити властивості таких послідовностей і їх застосування.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи

1.   Дано скінченну послідовність: (хn): 3; 0; -3; -6; -9; -12. Укажіть:

1) перший, третій, шостий члени цієї послідовності;

2) чи є ця послідовність зростаючою, спадною;

3) формулу її n-го члена.

2.   Послідовність (аn) задана формулою аn = 3n – 1. Укажіть:

1) а1, а2, а3;

2) номер члена, який дорівнює 26;

3) чи є членом цієї послідовності число 47; 58?

3.   Розв'яжіть рівняння:

1) х = ;

2) х2 – 3х = 0;

3) х2 – 2х +1 = 0;

4) х2 – 3х – 4 = 0;       

5) = 0.


V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Означення арифметичної прогресії. Різниця арифметичної прогресії.

2.   Рекурентна формула арифметичної прогресії.

3.   Властивості арифметичної прогресії:

1) характеристична властивість арифметичної прогресії;

2) сума членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців;

3)* теорема про задання арифметичної прогресії формулою an = kn + b, де k, b — деякі числа.


Опорний конспект № 29

 

 

Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії.

 

 

Приклад. 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія.

3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної прогресії.

 

 

Рекурентна формула арифметичної прогресії

 

 

аn+1 = аn + d, d — різниця арифметичної прогресії.

d = an+1 – аn.

 

 

 

 

Властивості арифметичної прогресії

1.  , де n >1

аnn-й член арифметичної прогресії, є середнім арифметичним двох сусідніх за ним членів.

2.  Якщо (аn) — арифметична прогресія (скінченна), то:

Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.

3. Теорема*. Будь-яка арифметична прогресія (аn) може бути задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа; і навпаки, якщо послідовність (аn) задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа, то ця послідовність є арифметичною прогресією.


Методичний коментар

Вивчення матеріалу уроку починається з формулювання означення арифметичної прогресії (учні підготовлені до його сприйняття на попередньому етапі уроку), у якому слід звернути увагу учнів на словосполучення «починаючи з другого», а також на те, що число, яке додається до кожного члена, починаючи з другого, є сталим для даної арифметичної прогресії, при цьому воно може бути яким завгодно (додатним або від'ємним; цілим або дробовим; воно може дорівнювати навіть 0; це бажано проілюструвати великою кількістю прикладів). Після цього формулюється уявлення про зміст поняття «різниця арифметичної прогресії» та записується відповідна формула. Далі традиційно записується рекурентна формула арифметичної прогресії, яка напряму випливає з означення арифметичної прогресії.

Для розв'язування багатьох прикладних задач важливими є властивості арифметичної прогресії, зокрема характеристична властивість (хоча програма з математики не дає її серед обов'язкових знань у цій темі). Також не обов'язковою, проте цікавою для застосування є теорема про задання арифметичної прогресії формулою an = kn + b, де k, b — деякі числа. Тому, якщо дозволяють особливості класу, можна запропонувати названі властивості арифметичної прогресії розглянути як додатковий матеріал.

 

VI. Формування вмінь
Усні вправи

1.    Знайдіть третій член і різницю арифметичної прогресії:
1) 2; 7; 12; ...;    

2) 6; 5,5; 5; ...;   

3) 0,7; 1; 1,3; ...;        

4) -9; -7; -5; ... .

2.   Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (аn), у якої:

1) a1 = 5, d = 2;  

2) a1 = 7, d = -2.

3.   Знайдіть четвертий член арифметичної прогресії:

1) 7; 11; 15; ...;  

2) 13; 10; 7; ... .

4.   Знайдіть пропущений член арифметичної прогресії:

1) 1; а2; 7; а4; ...;        

2) a1; 5; 3; ... .

 

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати завдання такого змісту:

1)  серед запропонованих послідовностей вибрати арифметичні прогресії;

2)  указати п-й член та різницю арифметичної прогресії, заданої переліком її перших членів;

3)  за рекурентною формулою знайти кілька перших членів арифметичної прогресії;

4)  вправи на використання властивостей арифметичної прогресії;

5)  на повторення: вправи на розв'язування раціональних рівнянь.


Методичний коментар

При розв'язуванні вправ крім закріплення термінології та формул, що виражають властивості, проводиться відпрацювання таких ключових моментів: як перевірити, чи є задана послідовність арифметичною прогресією (за означенням, або за характеристичною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); як знайти різницю арифметичної прогресії (від будь-якого члена, починаючи з другого, відняти попередній до нього член); як знайти член, наступний за даним членом арифметичної прогресії (знайти різницю арифметичної прогресії й додати її до даного члену).

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1.   Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади.

2.   Як знайти різницю арифметичної прогресії?

3.   Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.


VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити означення понять, розглянутих на уроці (див. опорний конспект № 29).

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним на уроці.

3.   Повторити схему розв'язування задач складанням математичної моделі.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити