АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів

УРОК № 56

Тема. Сума перших n членів геометричної прогресії

 

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями формул для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії. Закріпити вивчені означення, властивості та формули для геометричної прогресії.

Виробити вміння: записувати вивчені формули відповідно до умов задач та використовувати ці записи для розв'язування задач.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 35, роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашньої самостійної роботи).

Хід уроку

I. Організаційний етап
Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

 

II. Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити учнів на перевірку та оцінює виконану домашню самостійну роботу. Для здійснення зворотного зв'язку учням роздаються аркуші з правильними розв'язками (учні опрацьовують їх самостійно вдома та фіксують можливі запитання для того, щоб задати їх на наступному уроці).


III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Оскільки між арифметичною та геометричною прогресіями існує досить велика кількість схожих моментів, то і вивчення основних програмових питань, що стосуються кожної з цих прогресій, проводиться за тією самою схемою. Тому так само, як це робилося на відповідному етапі уроку за темою «Сума перших п членів арифметичної прогресії», на даному уроці можна запропонувати учням розглянути та обговорити одну із прикладних задач на обчислення суми перших п членів геометричної прогресії (наприклад класичну задачу про винахідника шахів).

Після складання математичної моделі задачі учні усвідомлюють існування проблеми швидкого обчислення такої суми (маємо мотивацію до навчальної діяльності), а тому можемо сформулювати мету уроку: вивести формули для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії, а також вивчити питання про сферу їх застосування.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи

1.   Чи є геометричною прогресією послідовність (хп):

1) -5; -5; -5; -5;

2) -5; 5; -5; 5;    

3) 1; ; ; ; ?

2.   Геометрична прогресія задана формулою n-го члена bn = 2. Назвіть:

1) b1;    2) q;    3) b2;    4) b5.

3.   Дана геометрична прогресія (bn). Знайдіть b3, якщо:

1) b2 = 0,2, b4 = 5;               

2) b4 = 7, q = -0,1;               

3) b6 = 1, b5 = 2.

 

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Формула для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії через n-й член.

2.   Формула для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії через перший член і знаменник геометричної прогресії.

3.   Приклади розв'язання задач на застосування вивчених формул.


Опорний конспект № 35

 

Формули суми перших n членів геометричної прогресії

Якщо (bn) — геометрична прогресія, q — її знаменник, a Sn — сума перших п її членів, то:

 (1)

або  (2)

! Зауваження: якщо q = 1, то Sn = b1 ∙ n (b1 = b2 =... = bn).

Приклад 1. Знайдемо суму перших восьми членів геометричної прогресії (bn): 3; -6; 12; ... .

Розв'язання

Маємо b1 = 3, q =  = -2, тоді за формулою (2):

S8 =  =  = = -255.

Відповідь: -255.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bn), якщо її четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів дорівнює -12,1.

Розв'язання

Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5 = -12,1, тому, оскільки , тобто ; -12,1 = 121b1; b1 = -0,1.

Відповідь: -0,1.

 

Методичний коментар

Виведення формул для обчислення суми перших n членів геометричної прогресії проводиться за традиційною схемою: спочатку виводиться формула , а потім, застосувавши до цієї формули формулу n-го члена геометричної прогресії, виводять формулу  (q  1). Так само, як і при вивченні питання про обчислення суми перших п членів арифметичної прогресії, після виведення формул розглядаються найтиповіші задачі на застосування цих формул (див. опорний конспект № 35).

 

VI. Формування вмінь

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1)  за однією з вивчених формул знайти (обчислити) суму перших п членів геометричної прогресії;

2)  розв'язати задачі, що передбачають пряме застосування вивчених формул (в умові задач напряму не сказано, що шукана сума є сумою геометричної прогресії);

3)  задачі на застосування вивчених формул для відшукання невідомих першого члена, або різниці, або кількості n членів геометричної прогресії за відомою за умовою сумою її перших членів;

4)  на повторення: задачі на застосування вивчених властивостей і формул арифметичної та геометричної прогресій;

5)  на повторення: вправи на розв'язування систем раціональних рівнянь.

 

Методичний коментар

Запропонований набір вправ спрямований на закріплення виведених на попередньому етапі уроку формул для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії, на вироблення оперативних умінь щодо їх застосування в стандартних ситуаціях як в прямому, так і в зворотному напрямі, а також сприяють повторенню та закріпленню вивченого в цій темі матеріалу.

 

VII. Підсумки уроку
Контрольне завдання

Дано геометричну прогресію (сn). Визначте, чи є правильними формули, і виправте знайдені помилки.

1) cn = cn-1 + d  (d = const);

2) cn = cn-1 ∙ a (a = const, a 0);

3)  (a = const, a 0);

4)  (a = const)?

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити формули для обчислення суми перших п членів геометричної прогресії (див опорний конспект № 35).

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним на уроці.

3.   Повторити схему розв'язування задач складанням математичної моделі.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити