АЛГЕБРА
Уроки для 9 класів

УРОК № 58

Тема. Нескінченна геометрична прогресія (| q | < 1) та її сума

 

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями: означення нескінченної спадної геометричної прогресії та формули суми цієї прогресії. Закріпити знання учнів про зміст основних понять, пов'язаних із поняттям геометричної та арифметичної прогресій.

Виробити вміння: наводити приклади нескінченних геометричних прогресій із | q | < 1; записувати формулу для знаходження суми таких геометричних прогресій; за формулою суми знаходити суму відповідної геометричної прогресії, а також розв'язувати задачі, що передбачають обчислення таких сум (зокрема, запис періодичного десяткового дробу у вигляді звичайного дробу). Удосконалити вміння розв'язувати задачі на застосування вивчених властивостей арифметичної та геометричної прогресій.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 36, роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашньої самостійної роботи).

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.


II. Перевірка домашнього завдання

Перевірка виконання завдань домашньої самостійної роботи відбувається за традиційною схемою: учитель збирає зошити учнів на перевірку, а учням роздаються правильні розв'язання всіх завдань для роботи вдома (якщо в цьому є необхідність).


III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями існування проблеми, що вирішується з допомогою формули, яка має бути вивчена на даному уроці, можна запропонувати їм виконати кілька завдань на порівняння (серед кількох прикладів геометричних прогресій виділяються такі, що будуть предметом подальшої розмови на уроці), а також завдання, що можуть привести учнів до розуміння «особливостей» геометричних прогресій зі знаменником | q | < 1. Після такої розумової роботи учнів учитель лише узагальнює висловлені думки та формулює основну дидактичну мету уроку: домогтися засвоєння учнями означення нескінченної спадної геометричної прогресії, формули суми цієї прогресії, а також виробити вміння наводити приклади нескінченних геометричних прогресій з | q | < 1; записувати формулу для знаходження суми таких геометричних прогресій; за формулою суми знаходити суму відповідної геометричної прогресії, а також розв'язувати задачі, що передбачають обчислення таких сум.


IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1.   Чи є геометричною прогресією послідовність чисел:

1) 3; 1; ; ; ;      

2) -3; 1; ; ; ;

3) 1; ; ; ; ; ?

Для геометричних прогресій знайдіть знаменник.

2.   Як знайти суму перших десяти членів послідовності:
1) (аn): 1; 2; 3; ...;              

2) (bn): 1; 2; 4; 8; ...;  

3) (cn): 3; 3; 3; ... ?

3.   В геометричній прогресії (dn) d1 = ; q = .Знайдіть:

1) d2 2) d4;    3) d10.

Що можна сказати про її 100-й член?

4.   Запишіть у вигляді суми розрядних одиниць числа:

1) 324;    2) 32,4;     3) 0,172;    4) 0,(2);    5) 1,5(3).

 

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1.   Уявлення про геометричну прогресію зі знаменником | q | < 1.

2.   Формула суми геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1.

3.   Приклади розв'язання задач на застосування формули суми геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1.

 

Опорний конспект № 36

 

Нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1

Приклади:

а) 1; ; ; ; ... q = , | q | < 1;

б) 3; ; ; ... q = , | q | < 1;

в) 100; 10; 1; ; ... q = , | q |< 1;

г) 32; 0,32; 0,0032; ... q = , | q | < 1.

Якщо (bn) — нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1, то сума всіх її членів S обчислюється за формулою

 

Приклад 1. Знайдемо суму нескінченної геометричної прогресії (bn): 6; -2; ... .

Розв'язання

За умовою b1 = 6; b2 = -2, отже, q =  = . Маємо геометричну прогресію, у якої | q | < 1. За формулою   знаходимо:

.

Відповідь; 4,5.

Приклад 2. Запишемо число 0,(7) у вигляді звичайного дробу.

Розв'язання

Запис 0,(7) означає нескінченний періодичний дріб 0,7777....

Його можна подати як нескінченну суму  +  +  + … .

Доданки цієї суми є членами нескінченної геометричної прогресії, у якої b1 = , q =  :  = , | q | < 1. Тоді ця сума дорівнює:

 . Тому 0,(7) = .

Відповідь: .


Методичний коментар

Вивчення матеріалу уроку будується на наочно-інтуїтивних уявленнях учнів про границю послідовності, подібно до того, як це було зроблено в курсі геометрії при виведенні формул довжини кола, площ прямокутника та круга. Важливо підкреслити, що формула  виведена для суми всіх членів нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1, а тому відрізняється від формули суми перших п членів геометричної прогресії.

Також слід зазначити, що виведена формула дозволяє вирішити ряд практичних задач, зокрема записувати нескінченні десяткові періодичні дроби як звичайні (див. приклади розв'язання задач в опорному конспекті № 36).


VI. Формування вмінь

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати вправи такого змісту:

1)  серед запропонованих послідовностей вибрати нескінченну геометричну прогресію зі знаменником | q | < 1;

2)  за формулою суми нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1 та даним першим членом і знаменником нескінченної геометричної прогресії знайти її суму;

3)  за формулою суми нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1 знайти невідомий перший член, якщо відомі її сума та знаменник;

4)  вправи на перетворення нескінченного десяткового періодичного дробу на звичайний дріб;

5)  комбіновані вправи на обчислення нескінченних сум (на застосування формул суми перших п членів геометричної та арифметичної прогресій);

6)  на повторення: вправи на застосування властивостей арифметичної та геометричної прогресій.

 

 

Методичний коментар

При розв'язуванні вправ, крім закріплення термінології та формули, виведеної на попередньому етапі уроку, проводиться відпрацювання таких ключових моментів:

• вивчена формула застосовується тільки для нескінченних геометричних прогресій та для обчислення тільки суми всіх членів нескінченної геометричної прогресії;

• вивчена формула є співвідношенням, що пов'язує три величини: перший член, знаменник та суму всіх членів нескінченної геометричної прогресії, а тому може бути застосована як для обчислення суми, так і для відшукання двох інших названих вище величин.

 

VII. Підсумки уроку
Контрольні запитання

1.   Дано геометричну прогресію (bn): 1; ; ; ; ; … .

1) Чи можна суму даної послідовності обчислити за формулою ? Чому?

2) За якою формулою слід обчислити суму всіх членів даної послідовності?

2.   Дано геометричну прогресію (cn): 1; ; ; ; ; ... .

1) Чи можна суму всіх членів даної прогресії знайти як значення виразу ? Чому? Знайдіть цю суму.

2) Знайдіть суму перших чотирьох членів даної прогресії. Порівняйте її з числом, отриманим у попередньому розрахунку. Як можна пояснити результати порівняння?

 

VIII. Домашнє завдання

1.   Вивчити зміст матеріалу уроку (див. опорний конспект № 36).

2.   Розв'язати вправи, аналогічні за змістом розв'язаним на уроці, або виконати тестові завдання [9, тест 22].





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити