ГЕОМЕТРІЯ
Плани-конспекти уроків для 10 класів

Урок 38

Тема. Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин


Мета уроку: формування поняття перпендикулярності площин. Вивчення ознаки перпендикулярності площин.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірити виконання задач № 49, 50 за записами, зробленими до початку уроку на дошці.

Розв'язання задачі № 49

Нехай ABα; Аα, dα; АВ = b, ACd, AC = a (рис. 214). За теоремою про три перпендикуляри ВСd , отже, ВС — відстань від точки В до прямої d. Із ΔАВС ВС =  =  .

Відповідь..

 

 

Розв'язання задачі № 50

Нехай FBQD — квадрат (рис. 215). Оскільки точка А рівновіддалена від сто­рін квадрата, то основа перпендикуляра АО точка О (АО(АВС)) є центром кола, вписаного в квадрат FBCD, тобто точка О — точка перетину діагоналей квадрата. Проведемо ОМCD, тоді AMCD, AM = a. FC = BD = d.

Із ΔFCD FD = FC · cos45° = d · = . Тоді ОМ = FD = .

Із ΔАОМ  AO =  = = .

Відповідь. .

 

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Периметр правильного трикутника дорівнює 36 см, а відстані від деякої точки до кожної із сторін трикутника — 10 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Варіант 2

Площа правильного трикутника дорівнює 108 см2. Точка відда­лена від площини трикутника на 8 см і рівновіддалена від його сторін. Знайти відстані від цієї точки до сторін трикутника.

Варіант 3

Сторони трикутника дорівнюють 13, 14 і 15 см. Точка простору від­далена від кожної сторони цього трикутника на 5 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Варіант 4

Сторони трикутника дорівнюють 36, 25 і 29 см. Відстань від деякої точки до площини трикутника дорівнює 15 см. Відстані від цієї точки до сторін трикутника рівні. Знайдіть ці відстані.

Відповідь. Варіант 1. 8 см. Варіант 2. 10 см. Варіант 3.3см. Варіант 4.17 см.

 

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

 

Поняття перпендикулярних площин

Дві площини, що перетинаються, нази­ваються перпендикулярними, якщо тре­тя площина, проведена перпендикуляр­но до лінії перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 216 αβ, бо площини α і β пере­тинаються по прямій с, площина γ, перпенди­кулярна до с, перетинає α і β по прямих а і b, які перпендикулярні.


Означення перпендикулярності площин не залежить від вибору площини γ. Дійсно, візь­мемо іншу площину γ1, перпендикулярну до прямої с (рис. 217).

Оскільки сγ та прямі a і b лежать у пло­щині γ і перетинаються в точці А, то са, сb (за означенням перпендикулярності пря­мої і площини).

Аналогічно са1, сb1. Крім того, а і а1b, b і b1 лежать відповідно в площинах α і β. Отже, а || а1 і b || b1. Оскільки а  b , а || a1 і b || b1, то а1b1 (теорема 3.1).

Розв'язування задач

1. Наведіть приклади моделей перпендику­лярних площин із оточення.

2. Покажіть на моделі прямокутного паралеле­піпеда перпендикулярні грані (площини).

3. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Ука­жіть площини, які перпендикулярні до пло­щини:

а) АВС;   б) ADC1;  в) АСС1.

4. На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи може статися, що ці прямі:

а) паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні?

Відповідь проілюструйте прикладами з оточення.

5. Задача № 59 (1, 3, 5) із підручника (с. 39).

 

Ознака перпендикулярності площин

Доведення ознаки перпендикулярності двох площин провести, як це зроблено в підручнику (§ 3, п. 20, теорема 3.6).

Подамо зразок запису теореми 3.6 на дошці і в зошитах.

 

Теорема.

Дано:а, b, bα, β, bβ.

Довести: α β (рис. 218).

 

 

Доведення

Нехай α і β перетинаються по прямій с, а пряма c перетинається з b в точці А. Через точку А в площині α проведемо пряму а, ас. Через а і b прове­демо площину γ,  са, сb, отже, γс. Оскільки аb, то αβ.

Розв'язування задач,

1. Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?

2. ABCD — квадрат, MD(АВС) (рис. 219). Доведіть, що:

а) (MAD)(MCD); б) (MBC)(MCD).

 

3. У трикутнику АВС <C = 90°; PB(ABC) (рис. 220). Доведіть, що (РАС)(РВС).


4. Задача № 54 із підручника (с. 38).

5. Чи правильні твердження:

а) через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпен­дикулярну до цієї площини, і притому тільки одну;

б) якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона перпендикуля­рна і до довільної прямої, паралельної цій площині?

6. Задача № 55 із підручника (с. 38).

7. Задача № 61 із підручника (с. 39).


III. Домашнє завдання

§3, п. 20; контрольні запитання № 11, 12;

задачі № 59 (2; 4; 6), 60 (с. 39).



IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Які площини називаються перпендикулярними?

2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

3) Дано куб ABCDA1B1C1D1. Враховуючи, що ребра куба, які виходять з однієї вершини, попарно перпендикулярні, укажіть серед наведе­них тверджень правильні:

а) площини АD1С і AD1D перпендикулярні;

б) площини AD1C і CDD1 перпендикулярні;

в) площини AD1C і ADC перпендикулярні;

г) площини ADD1 і ADC перпендикулярні.

4) Дано дві перпендикулярні площини α і β та пряму с, яка перпен­дикулярна до площини α. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) пряма с обов'язково належить площині β;

б) пряма с може бути паралельною площині β;

в) якщо пряма с, належить площині β, то вона паралельна лінії пе­ретину площин α і β;

г) будь-яка площина, яка містить пряму с, перпендикулярна до площини α.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити