ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 11

Тема. Застосування розв'язування трикутників у прикладних задачах


Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати знання розв'язування трикутників до розв'язування прикладних задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13], таблиця 2, посібник [14].

Вимоги до рівня підготовки учнів: розв'язують трикутники. Застосовують алгоритми розв'язування трикутників до розв'язування прикладних задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашнього завдання.

Задача 1. Розв’язання

γ = 180°- α - β = 180° - 64° - 48° = 68°.

; ; ; ;

; ; ;

Відповідь. γ = 68°, а = 13,6, b = 11,2.

Задача 2. Розв’язання

b2 = a2 + c2 – 2ac cosβ; b2 = 576 + 324 – 2 ∙ 24 ∙ 18 ∙ cos15°  900 – 864 ∙ 0,9659 = 65,4624; b  8,09.

;  ; ; ; α  50°.

γ = 180° - α - β  180° - 50° - 15° = 115°.

Відповідь. b  8,09, α  50°, γ  115°.

Задача 3. Розв’язання

a2 = b2 + c2 – 2bc cosα; 3025 = 441 + 1444 – 1596 cosα; cosα =  - 0,7143; α  136°.

; ; ; β 15°.

γ = 180° - α - β  180° - 136° - 15° = 29°.

Відповідь. α 136°, β 15°, γ 29°.

Задача 4. Розв'язання

b2 = a2 + c2 – 2ac cosβ; b2 =1024 + 529 – 2 ∙ 32 ∙ 23 ∙ cos152° 1553 – 1472 ∙ (-0,8829) = 1553 + 1299,6288 = 2852,6288; b 53,4.

; ; ; ; α 16°.

γ = 180° - α - β 180° - 16° - 152° = 12°.

Відповідь. b 53,4, α 16°, γ 12°.


II. Узагальнення й систематизація теоретичних

Фронтальна бесіда

Учні, користуючись табл. 2, дають відповіді на запитання.

  1. 1)  Сформулюйте теорему косинусів.
  2. 2)  Поясніть, як із формули a2 = b2+ c2 – 2bc cosα знайти cosα.
  3. 3)  Як можна визначити вид трикутника (за кутами), якщо відомі сторони а, b, с?
  4. 4)  Сформулюйте теорему синусів.
  5. 5)  Сформулюйте теорему про співвідношення між кутами трикутника і протилежними сторонами.
  6. 6)  Сформулюйте теорему про співвідношення між сторонами трикутника і протилежними кутами.
  7. 7)  Як можна знайти радіус кола, описаного навколо трикутника, у якому відомі сторона і протилежний кут?
  8. 8)  Які є основні випадки розв'язування довільних трикутників?

Таблиця 2

 

 

Теорема косинусів

a2 = b2 + c2 – 2bc cosα;

b2 = a2 + c2 – 2ac cosβ;

с2 = a2 + b2 – 2ab cosγ

 

Теорема синусів

 

Теорема про суму кутів трикутника

α + β + γ = 180°

Розв'язування трикутників

1. Дано: а, α, β. Знайти: b, с, γ.

Розв'язання

1) γ = 180° - (α + β);

2) ; ;

3) ;

2. Дано: а, b, γ. Знайти: с, α, β.

Розв'язання

1) c = ;

2) ; ;

3) β = 180° - (α + γ)

3. Дано: а, b, α. Знайти: с, β, γ.

Розв'язання

1) ; ;

2) γ = 180° - (α + β);

3) ;

4. Дано: а, b, с. Знайти: α, β, γ.

Розв'язання

1) a2 = b2 + c2 – 2bc cosα;

2) ; ;

3) γ = 180° - (α + β)

 

ІІІ. Формування вмінь учнів застосовувати знання з розв'язування трикутників до розв'язування

Розв'язування задач

  1. 1.   Дві сили  і  утворюють кут φ. Знайдіть їх рівнодійну, якщо:

а) F1 = 8,6 Н, F2 = 6,5 Н, φ = 130°;

б) F1 = 9,7 Н, F2 = 10,8 H, φ = 75°.

(Відповідь, а)  6,7 Н; б)  16,3 Н.)

  1. 2.   Рівнодійна двох сил  і  дорівнює . Знайдіть кут між силами  і , якщо:

а) F1 = 62 Н, F2 = 50 Н, R = 47 Н;

б) F1 = 6,7 Н, F2 = 9,8 Н, R = 12,8 Н.

(Відповідь, а)  132°; б)  80°.)

  1. 3.   Щоб знайти відстань до недоступної точки В від доступної точки, виконали вимірювання (рис. 36):

а) AС = 19 м, A = 80°, C = 68°;

б) АС = 50 м, A = 65°, C = 80°.
Знайдіть відстань АВ.
(Відповідь, а)  33 м; б)  86 м.)


 

  1. 4.   Поясніть, як знайти висоту х будівлі (рис. 37) за кутами α і β та відстанню d.

Розв'язання

Нехай DC = d, BDA = α, BCD = β (рис. 37), тоді BDC = 180° - α, DBC = 180° - 180° + α - β = αβІз трикутника BDC маємо: ; , звідси . Із трикутника ABD маємо: АВ = BD sinBDA = BD sina = ; .

Відповідь. .


  1. 5.   Спостерігач перебуває на відстані d від дерева, висоту якого хоче визначити (рис. 38). Основу дерева спостерігач бачить під кутом α до горизонту, а вершину дерева — під кутом β до горизонту. Яка висота дерева?

Відповідь. d(tgα + tgβ).


 

IV. Самостійна робота

Самостійну роботу навчального характеру можна провести, скориставшись посібником [14], тест 4 «Розв'язування трикутників».


V. Домашнє завдання

  1. 1.   Поясніть, як знайти відстань від точки А до недоступної точки В (рис. 39), знаючи відстань АС і кути α і β.
  2. 2.   Розв'яжіть трикутник: b = 12, α = 36°, β = 25°.


VI. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

  1. 1.   Що означає розв'язати трикутник?
  2. 2.   Складіть план розв'язування трикутників, якщо задано:

а) сторону b і два кути α і γ;

б) дві сторони а і b та кут між ними γ.



Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити