ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 15

Тема. Розв'язування задач

Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: табл. 3.

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують вивчені означення, теореми, формули і властивості до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань.

Розв’язання

а) р =  = 16. S =  = = 24.

R =  =  = 8, r =  = = 1,5.

Відповідь. R = 8, r = 1,5.

б) р =  = 36.

S =  =  = 84.

R =  =  = 24, 

r =  =  = 2.

Відповідь. R = 24, r = 2.

ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи

ІІІ. Узагальнення й систематизація теоретичних відомостей

Цей етап уроку доречно провести з використанням табл. 3.

Запитання до класу

1. 1.   Сформулюйте властивості площі плоских фігур.
2. 2.   Чому дорівнює площа прямокутника, якщо відомі його сторони?
3. 3.   Чому дорівнює площа прямокутника, якщо відомі діагоналі прямокутника і кут між ними?
4. 4.   Чому дорівнює площа квадрата, якщо відома:

а) сторона квадрата;

б) діагональ квадрата?

1. 5.   Чому дорівнює площа паралелограма, якщо відомі:

а) сторона паралелограма і висота, проведена до неї;

б) дві сусідні сторони паралелограма і кут між ними;

в) діагоналі й кут між ними?

1. 6.   Чому дорівнює площа ромба, якщо відомі:

а) сторона і висота ромба;

б) сторона і кут ромба;

в) діагоналі ромба?

1. 7.   Чому дорівнює площа трикутника, якщо відомі:

а) сторона трикутника і висота, проведена до неї;

б) дві сторони трикутника і кут між ними;

в) три сторони трикутника;

г) радіус вписаного кола і сторони трикутника;

д) радіус описаного кола і сторони трикутника?

1. 8.   Чому дорівнює площа:

а) прямокутного трикутника;

б) правильного трикутника?

1. 9.   Чому дорівнює площа трапеції, якщо відомі:

а) основи і висота трапеції;

б) діагоналі трапеції і кут між ними?

Таблиця 3

IV. Розв'язування вправ

Учитель може використати задачі з попередніх уроків та за пропонувати такі задачі.

1. 1.   Знайдіть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює d й утворює з однією зі сторін кут α. (Відповідь. d2sinα cosα.)
2. 2.   Діагональ паралелограма ділить гострий кут на кути α і β. Сторона, що лежить проти кута β, дорівнює b. Знайдіть площу паралелограма. (Відповідь. .)
3. 3.   Знайдіть сторону ромба, якщо його площа дорівнює S, а один із кутів дорівнює α. (Відповідь. .)
4. 4.   Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть радіуси описаного та вписаного кіл. (Відповідь. R = 5 см, r = 2 см.)
5. 5.   Висоти паралелограма, проведені з однієї вершини, дорівнюють а і b і утворюють кут α. Знайдіть площу паралелограма. (Відповідь. .)
6. 6.   Сторона прямокутника дорівнює а, а кут між діагоналями, протилежний іншій стороні прямокутника, дорівнює φ. Знайдіть площу прямокутника. (Відповідь. a2tg.)
7. 7.   У рівнобічній трапеції менша основа а дорівнює бічній стороні, а гострий кут дорівнює φ. Знайдіть площу трапеції.

Розв'язання

Нехай у трапеції ABCD ВС = АВ = CD = a, BAD = ADC = φ (рис. 50). Опустимо перпендикуляр із точки В на основу AD. Із прямокутного трикутника АВК маємо:

ВК = h = аsіnφ, АK = асоsφ.

Тоді AD = 2AK + BC = 2а соsφ + а.

Отже,  S =  ∙ BK =  ∙ аsіnφ =  = а2sinφ(1 + соsφ).

Відповідь. а2sinφ(1 + соsφ).

V. Домашнє завдання

1. 1.   Підготуватися до тематичної контрольної роботи № 1.
2. 2.   Розв'язати задачі.

1) У рівнобічній трапеції паралельні сторони дорівнюють 60 см і 20 см, а непаралельні — 13 см і 37 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв'язання

Нехай у трапеції ABCD (рис. 51) BC || AD, AD = 60 см, ВС = 20 см, АВ = 13 см, CD = 37 см.

Проведемо CF || AB. У трикутнику CFD: CF = АВ = 13 см, СD = 37 см,  FD  = AD – BC = 60 – 20 = 40 (см). Знайдемо SΔCFD за формулою Герона:

SΔCFD =  =  = 240 (см2).

З іншого боку, SΔCFD = CK ∙ FD, де CKFD, тоді 240 = СK ∙ 40; СК =  = 12 (см). SABCD =  ∙ СК =  ∙ 12 = 480(см2).

Відповідь. 480 см2.

2) Доведіть, що в прямокутному трикутнику радіус вписаного кола дорівнює половині різниці між сумою катетів і гіпотенузою.

Розв’язання

Нехай у трикутнику ABC C = 90°, О — центр вписаного кола (рис. 52). Із точки О проведемо радіуси кола в точки дотику К, D, F. Оскільки KCDO — квадрат, то KO = OD = CD = KC = r.

Нехай АС = b, СB = а, АВ = с, тоді BF = DB = a – r, AF = AK = b – r. Оскільки BF + AF = c, то маємо a – r + b – r = c, тоді 2r = а + b – с, r = , що і треба було довести.

3) Доведіть, що площа многокутника, описаного навколо кола, дорівнює половині добутку периметра многокутника на радіус кола.

Розв'язання

Доведемо для шестикутника. Нехай многокутник А1А2А3А4А5А6 описаний навколо кола з центром О (рис. 53).

Проведемо з точки О у точки дотику відрізки, тоді матимемо ОB1 = ОВ2 = ОВ3 = ОВ4 = ОВ5 = ОВ6 = r.

= r ∙ А1А2 + r ∙ А2А3 + r ∙ А3А4 + r ∙ А4А5 + r ∙ А5А6 + r ∙ А6А1 = r(A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A5 + A5A6 + A6A1) = rP.

VI. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

Про що нове ви дізналися під час вивчення цієї теми?

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити