ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК 16

Тема. Тематична контрольна робота № 1

 

Мета уроку: перевірка навчальних досягнень учнів з теми «Розв'язування трикутників».

Тип уроку: контроль навчальних досягнень учнів.

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують вивчені означення, теореми, формули і властивості до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Тематична контрольна робота № 1

Тематичне оцінювання № 1 можна провести у формі тематичної контрольної роботи, текст якої наведено. Кожне завдання оцінюється 3 балами.

Варіант 1

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють відповідно 1 см і  см, а кут між ними становить 135°. Знайдіть третю сторону трикутника.
  2. 2.   У трикутнику ABC A = 60°, B = 45°, АС =  см. Знайдіть сторону ВС.
  3. 3.   Більша діагональ і більша сторона паралелограма відповідно дорівнюють  см і 2 см, а його гострий кут становить 30°. Знайдіть меншу сторону паралелограма.
  4. 4.   У рівнобічній трапеції ABCD з основою AD ВС = 4 cм, BDC = 30°, BDA = 45°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, та її бічну сторону.

Варіант 2

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють відповідно 3 см і 8 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.
  2. 2.   У гострокутному трикутнику ABC AB =  см, ВС =  см, A = 45°. Знайдіть кут С.
  3. 3.   Більша діагональ паралелограма дорівнює  см і утворює зі сторонами кути, які дорівнюють відповідно 15° і 45°. Знайдіть більшу сторону паралелограма.
  4. 4.   Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 18 см і 26 см. Знайдіть медіану, проведену до більшої сторони трикутника.

Варіант 3

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють відповідно 1 см і 2 см, а кут між ними становить 150°. Знайдіть третю сторону трикутника.
  2. 2.   У тупокутному трикутнику ABC ВС = 2 см, C = 30°, АВ =  см. Знайдіть кут А.
  3. 3.   У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює 1 см, бічна сторона —  см, а більший кут становить 150°. Знайдіть діагональ трапеції.
  4. 4.   Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої,— 6 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

Варіант 4

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють відповідно 2 см і 3 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.
  2. 2.   У трикутнику ABC ВС = 2 см , A = 45°, C = 30°. Знайдіть сторону АВ.
  3. 3.   Діагоналі паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть більшу сторону паралелограма.
  4. 4.   У рівнобічній трапеції ABCD з основою AD АС=  см, ВАС = 45°, ACB = 15°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, та її основу ВС.

Відповіді та розв'язання до завдань тематичної контрольної роботи

Варіант 1

1. Нехай у трикутнику ABC (рис. 54) АВ = 1 см, АС =  см, A = 135°, тоді за теоремою косинусів маємо: ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АВ ∙ ACcosА;

ВС2 = 12 +  – 2 ∙ 1 ∙  ∙ cos135°;  ВС2 = 19 + 2 ∙ 3; ВС2 = 25. Звідси ВС = 5 см.

Відповідь. 5 см.


 

2. За теоремою синусів маємо: ; ; ; ВС =  = 3 (см).

Відповідь. 3 см.

3. Нехай у паралелограмі ABCD (рис. 55) ВС = 2см, АС = см, ВАС = 30°, тоді ABC = 180° - 30° = 150°.

Із трикутника ABC маємо: АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ ∙ ВС ∙ cosВ.

19 = АВ2 + 12 + 2АВ ∙ 2, АВ2 + 6АВ – 7 = 0, звідси АВ = -7 (не задовольняє умову задачі) або АВ = 1 (см).

Відповідь. 1 см.


4. Коло, описане навколо трапеції ABCD (рис. 56), збігається з колом, описаним навколо трикутника BCD. За теоремою синусів із трикутника BCD маємо: = 2R, звідси R=== 4 (см); DBC =BDA = 45°.

Із трикутника BCD маємо:  = 2R, звідси CD = 2Rsin DBA = 2 4 sin45° = 8 = 4 (см).

Відповідь. 4 см, 4 см.



Варіант 2

1. Нехай у трикутнику ABC (рис. 57) АВ = 3 см, АС = 8 см, А = 60°, тоді за теоремою косинусів маємо:

ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АВ ACcosA = 9 + 64 – 2 ∙ 38 = 73 – 24 = 49.

Звідси ВС = 7 см.

Відповідь. 7 см.

2. За теоремою синусів маємо: ; ; sinC = . Отже, C = 60°.

Відповідь. 60°.

3. Нехай у паралелограмі ABCD (рис. 58) АС- см, BCA = 15°, BAC = 45°, тоді A = ВАС + CAD = 15° + 45° = 60°, В = 180° - А = 120°. Із трикутника ABC маємо: ; ; ВС = 2 ∙  = (см).

Відповідь.  см.

4. Нехай у трикутнику ABC (рис. 59) АВ = 18 см, ВС = 16 см, АС = 26 см, AD = DC.

Із трикутника ABD маємо: АВ2 = AD2 + BD2 – 2 ADBDcosADB.        (1)

Із трикутника BDC маємо: BC2 = BD2 + DC2 – 2BDDCcosBDC.        (2)

Додавши почленно рівності (1) і (2), маємо: АВ2 + ВС2 = 2AD2 + 2BD2, 182 + 162 = 2 ∙ 132 + 2 ∙ BD2, звідси BD2 = 121, BD = 11 (см).

Відповідь. 11 см.

 


Варіант 3

1. Нехай у трикутнику ABC (рис. 60) АВ = 1 см, АС = 2 см, A = 150°, тоді за теоремою косинусів маємо:

ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АВ ACcosA = 1 + 12 – 2 ∙ 1 ∙ 2  = 13 + 6 = 19.

Звідси ВС =  см.

Відповідь.  см.

2. За теоремою синусів маємо: ; ; sinA = . Отже, A = 135°.

Відповідь. 135°.

3. Нехай у трапеції ABCD (рис. 61) ВС = 1 см, АВ =  см, ABC = 150°. Із трикутника ABC маємо:

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2ABBCcosABC = 1 + 3 – 2 ∙ 1 ∙  ∙ = 4 + 3 = 7.

Отже, АС = см.

Відповідь.  см.

4. Нехай у трикутнику ABC (рис. 62) АВ = 11 см, ВС = 7 см, AD = DC , BD = 6 см. Із трикутника ABD маємо:

АВ2 = AD2 + BD2 – 2ADBDcosADB;

121 = AD2 + 36 – 12AD cosADB.  (1)

Із трикутника BDC маємо:

ВС2 = DC2 + BD2 – 2DCBDcosBDC;

BC2 = AD2 + BD2 – 2AD ∙ BD ∙ cos(180° - ADB);

BC2 = AD2 + BD2 + 2AD ∙ BD ∙ cos ADB;

49 = AD2 + 36 + 12AD cosADB.            (2)

Додавши почленно рівності (1) і (2), маємо: 49 + 121 = 2AD2 + 72, 2AD2 = 98, AD2 = 49, звідси AD = 7 (см).

Відповідь. 7 см.

 


Варіант 4

1. Нехай у трикутнику ABC АВ = 2 см, АС = 3 см, A = 60° (рис. 63), тоді за теоремою косинусів маємо:

ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АВ ACcosA = 4 + 9 – 2 ∙ 2 3 = 13 – 6 = 7. Звідси ВС = см.

Відповідь.  см.

2. За теоремою синусів маємо: ; ; 4 = 2АВ; АВ = 2 (см).

Відповідь. 2 см.

3. У паралелограмі ABCD (рис. 64) АС = 32 см, BD = 10 см, AOB = 60°, тоді ВО = BD =  ∙ 10 = 5 (см), ОС = АС =  ∙ 32 = 16 (см), BOC = 180° - AOB = 180° - 60° = 120°.

Із трикутника ВОС маємо: ВС2 = BO2 + CO2 – 2BOCOcosBOC = 25 + 256 – 2 ∙ 5 ∙ 16 ∙  = 281 + 80 = 361. BC =  = 19 (см).

Відповідь. 19 см.

  1. Коло, описане навколо трапеції ABCD (рис. 65), збігається з колом, описаним навколо трикутника ABC. За теоремою синусів із трикутника ABC маємо: , звідси

R=  =  =  =    =  =  (см).

Тоді із трикутника ABC: , BC = 2R sinBAC = 2 ∙  ∙ sin45° = = 2 ∙  ∙  = 2 (см).

Відповідь.  см, 2 см.

 


Тематичне оцінювання № 1 можна провести у вигляді тесту. Кожне завдання І і II рівнів оцінюється 1 балом, завдання III рівня — 2 балами, IV рівня — 3 балами.

При оцінюванні виконання тестів ураховуються тільки ті шість із виконаних завдань, яким відповідає найбільша кількість балів. Якщо учень набрав у сумі нецілу кількість балів, результат округлюється в сторону збільшення, якщо учень набрав більше від 12 балів, він отримує 12 балів.


Тестова робота

Варіант 1

Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

І рівень

  1. 1.   Якщо в трикутнику ABC A = α, AB = c, AC = b (рис. 66), то:

A   BC2 = b2 + c2 – bс cosα            

Б   ВС2 = b2 + c2 – 2bc cosα

В   BC2 = b2 + c2 + bc cosα


 

  1. 2.   Якщо в трикутнику ABC ВС = а, A = α, C = γ (рис. 67), то:

А.  ;           

Б.  ;           

В.  .

 

 

  1. 3.   Якщо в трикутнику ABC A = 30°, B = 70°, то найбільшою є сторона:

А.  АВ;         Б. ВС;        В. АС.

II рівень

  1. 4.   Якщо дві сторони трикутника дорівнюють відповідно 3см і 6,см, а кут між ними становить 45°, то третя сторона трикутника дорівнює:

А. 2 см;   Б. 3 см;   В.  см.

  1. 5.   Якщо одна сторона трикутника дорівнює 10 см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 75° і 60°, то сторона, протилежна куту 60°, дорівнює:

А. 6 см;   Б. 10 см;   В. 5 см.

  1. 6.   Якщо в трикутнику ABC ВС = 2 см, A = 45°, то радіус кола, описаного навколо даного трикутника, дорівнює:

А. 1 см;   Б. 2 см;   В. 4 см.

ІІІ рівень

  1. 7.   Якщо сторони трикутника дорівнюють відповідно 1 см, 2см,  см, то трикутник:

А. прямокутний; 

Б. тупокутний;            

В. гострокутний.

  1. 8.   Якщо сторони паралелограма дорівнюють 1 см і 3 см, а гострий кут між ними становить 45°, то більша діагональ паралелограма дорівнює:

А. 3 см;   Б. 4 см;   В. 5 см.

  1. 9.   Якщо в трикутнику ABC (рис. 68) АВ = 13 см, ВС = 15 см, АС = 14 см,   BDAC, то висота BD дорівнює:

А. 11 см;   Б. 12 см;    В. 13 см.


 

IV рівень

  1. 10.   Якщо дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 8 см, а медіана, проведена до третьої,— 5 см, то третя сторона дорівнює:

А. 10 см;     Б. 11 см;   В. 12 см.

  1. 11.   Якщо сторони трикутника задовольняють умову (b + c + a)(b + c a) = 3bc, то один із його кутів становить:

А. 30°;  Б. 60°;   В. 120°.

  1. 12.   Якщо в трикутнику ABC  , то трикутник:

А. гострокутний; 

Б. прямокутний; 

В. тупокутний.


Варіант 2

Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь.

І рівень

  1. 1.   Якщо в трикутнику ABC B = β, AB = c, BC = a (рис. 69), то:

A. AC2 = a2 + c2 + 2ac cosβ;           

Б. АС2 = а2 + с2 – ас cosβ;

В. AC2 = a2 + c2 – 2ac cosβ.


 

  1. 2.   Якщо в трикутнику ABC C = γ, AB = c, BC = a (рис. 70), то:

А. ;    

Б. ;    

В. .


 

  1. 3.   Якщо в трикутнику ABC АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см, то найбільшим є кут:

А. А;   Б. В;   В. С.

ІІ рівень

  1. 4.   Якщо дві сторони трикутника дорівнюють відповідно  см і 1 см, а кут між ними становить 30°, то третя сторона трикутника дорівнює:

А. 1 см;  Б.  см;  В.  см.

  1. 5.   Якщо одна сторона трикутника дорівнює 12 см, а прилеглі до неї кути становлять 45° і 75°, то сторона, протилежна куту 45°, дорівнює:

А. 12 см;  Б. 4 см;  В. 12 см.

  1. 6.   Якщо у трикутнику ABC A = 60°, а радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює  см, то сторона ВС дорівнює:

А.  см;  Б. 3 см;  В. 3 см.

III рівень

  1. 7.   Якщо сторони трикутника дорівнюють відповідно 1 см, 3см, 2 см, то трикутник:

А. прямокутний;

Б. тупокутний;    

В. гострокутний.

  1. 8.   Якщо діагоналі паралелограма дорівнюють 2 см і 2 см, а кут між ними становить 30°, то менша сторона паралелограма дорівнює:

А. 3 см;  Б. 2 см;  В. 1 см.

  1. 9.   Якщо в трикутнику ABC АВ =  см, ВС = 4 см, АС = 5 см, BD  AC (рис. 71), то висота BD дорівнює:

А. 2,3 см;  Б. 3,2 см;  В. 3,4 см.

 


IV рівень

  1. 10.   Якщо дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 18 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 11 см, то третя сторона дорівнює:

А. 24 см;  Б. 25 см;  В. 26 см.

  1. 11.   Якщо сторони трикутника задовольняють умову (b + c + a)(b + c a) = bc, то один із його кутів становить:

А. 30°;  Б. 60°;  В. 120°.

  1. 12.   Якщо в трикутнику ABC , то трикутник:

А. гострокутний; 

Б. прямокутний; 

В. тупокутний.


Відповіді до завдань тестової роботи

 

Рівень

Номер завдання

Варіант 1

Варіант 2

І

1

Б

В

2

Б

Б

3

А

Б

II

4

Б

А

5

В

Б

6

Б

В

III

7

Б

Б

8

В

В

9

Б

Б

IV

10

А

В

11

Б

В

12

Б

Б


II. Домашнє завдання

Якщо в класі виконувалася тематична контрольна робота № 1, то вдома можна запропонувати виконати тест, і навпаки.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити