ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів
УРОК № 17
Тема. Правильні многокутники
Мета уроку: формування поняття правильного многокутника, центра і центрального кута правильного многокутника. Формування вмінь застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: табл. 4.
Вимоги до рівня підготовки учнів: формують означення правильного многокутника; застосовують вивчені означення до розв'язування задач.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання домашніх завдань.
ІІ. Аналіз результатів тематичної контрольної роботи № 1
ІІІ. Повторення й узагальнення знань учнів про многокутники
Фронтальна бесіда
- 1. Сформулюйте означення многокутника; вершин многокутника; сторін многокутника; діагоналей многокутника.
- 2. Які многокутники вам відомі?
- 3. Скільки утворюється трикутників, якщо в n-кутнику (n > 3) провести всі його діагоналі з однієї вершини?
- 4. Що таке кут многокутника? зовнішній кут многокутника?
- 5. Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника?
- 6. Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого многокутника?
- 7. В опуклого многокутника всі зовнішні кути прямі. Який це многокутник?
- 8. Чи можна побудувати чотирикутник з двома прямими і двома тупими кутами?
- 9. Чи може найменший кут чотирикутника становити 91°?
- 10. Чи можна побудувати опуклий п'ятикутник, усі кути якого прямі? Відповідь поясніть.
IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Означення правильного многокутника
Серед розмаїття опуклих многокутників виділяють многокутники, у яких усі сторони рівні й усі кути рівні. Такі многокутники називають правильними.
Завдання класу
- 1) Який трикутник є правильним?
- 2) Який чотирикутник є правильним?
- 3) Знайдіть кути правильного шестикутника.
- 4) Скільки сторін має правильний многокутник, зовнішній кут якого становить 18°?
- 5) Знайдіть градусну міру кута правильного п-кутника.
- 6) Знайдіть градусну міру зовнішнього кута правильного п-кутника.
- 7) Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кут при його вершині дорівнює 108°?
Повторення відомостей про вписані й описані трикутники
Фронтальна бесіда
Запитання до класу з використанням табл. 4.
- 1) Яке коло називається описаним навколо трикутника? Що можна сказати про такий трикутник (по відношенню до кола)?
- 2) Чи можна описати коло навколо будь-якого трикутника?
- 3) Де міститься центр кола, описаного навколо трикутника?
- 4) Яке коло називається вписаним у трикутник? Що можна сказати про такий трикутник (по відношенню до кола)?
- 5) Чи можна вписати коло в будь-який трикутник?
- 6) Де міститься центр кола, вписаного в трикутник?
Таблиця 4
Вписані й описані трикутники |
||
Вписані трикутники |
||
Описані трикутники |
||
Означення вписаних і описаних многокутник
Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.
Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола.
Запитання до класу
- 1) Де міститься центр кола, описаного навколо многокутника? Чому?
- 2) Чи завжди можна описати коло навколо даного многокутника?
- 3) Побудуйте прямокутник та опишіть коло навколо нього.
- 4) Де міститься центр кола, вписаного в многокутник? Чому?
- 5) Чи завжди можна вписати коло в даний многокутник?
- 6) Побудуйте ромб та впишіть у нього коло.
- 7) Побудуйте правильний чотирикутник. Впишіть в нього коло й опишіть коло навколо нього.
Вивчення теореми
Теорема. Правильний многокутник є вписаним у коло й описаним навколо кола.
Доведення
Нехай А і В — дві сусідні вершини правильного многокутника (рис. 72).
Проведемо бісектриси кутів А і В, які перетинаються в точці О. Трикутник АОВ — рівнобедрений (OAB =
ОВА =
, де α — кут правильного многокутника). Сполучимо точку О з вершиною С, що є сусідньою з вершиною В. ΔАВО = = ΔСВО (за першою ознакою рівності трикутників).
Із рівності трикутників випливає, що трикутник ОВС — рівнобедрений з кутом C =
, тобто CO — бісектриса кута С.
Потім сполучимо точку О із вершиною D, що є сусідньою з вершиною С, і доводимо, що трикутник COD — рівнобедрений і DO — бісектриса кута D і т.д.
Отже, ΔABO = ΔBCO = ΔCDO = ... . Усі ці трикутники мають рівні бічні сторони і рівні висоти, проведені до їхніх основ. Звідси випливає, що всі вершини многокутника лежать на колі з центром О і радіусом, що дорівнює бічним сторонам трикутників, а всі сторони многокутника дотикаються до кола з центром О і радіусом, що дорівнює висотам трикутників, проведеним із вершини О. Теорему доведено.
Можна запропонувати учням самостійно довести цю теорему, а потім провести фронтальну бесіду за рис. 72.
Запитання до класу
- 1. Чому бісектриси кутів А і В перетинаються?
- 2. α — кут многокутника. Чому дорівнюють кути ОАВ і ОВА?
- 3. Визначте вид трикутника АОВ. Обґрунтуйте відповідь.
- 4. Чому ΔАВО = ΔВОС, ΔBOC = ΔCOD?
- 5. Чому OA = OB = OC = OD? Який висновок можна зробити з цієї рівності?
- 6. Чому висоти трикутників АОВ, ВОС, COD, проведені з точки О, рівні?
- 7. Як буде розташовуватися коло з центром у точці О і радіусом, що дорівнює висоті трикутника, по відношенню до многокутника? Чому?
Слід зазначити, що з цієї теореми можна сформулювати такі наслідки.
- 1) Усі бісектриси кутів правильного многокутника перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола.
- 2) Усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін правильного многокутника, перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.
- 3) Центри вписаного й описаного кіл у правильному многокутнику збігаються.
- 4) Відрізок, що сполучає центр правильного многокутника з серединою сторони многокутника, є радіусом вписаного кола. Цей відрізок називається апофемою правильного многокутника.
Означення центрального кута правильного многокутника
Кут, під яким видно сторону правильного многокутника з його центра, називається центральним кутом многокутника.
Завдання класу
- 1) Чому дорівнює центральний кут правильного трикутника?
- 2) Чому дорівнює центральний кут правильного чотирикутника?
- 3) Чому дорівнює центральний кут правильного n-кутника?
- 4) Доведіть, що центральний кут правильного n-кутника дорівнює зовнішньому куту цього многокутника.
V. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Виконання вправ
- 1. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх кутів якого дорівнює 135°?
Розв’язання
Оскільки = 135°, то 180 ∙ (n – 2) = 135n; 180n – 360 = 135n; 180n – 135n = 360; 45n = 360; n = 360 : 45, n = 8.
Відповідь. 8 сторін.
- 2. Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зовнішніх його кутів дорівнює 36°?
Розв'язання
Оскільки = 36°, то 360 = 36n; n = 360 : 36, n = 10.
Відповідь. 10 сторін.
- 3. Доведіть, що взяті через одну вершини правильного 2п-кутника є вершинами правильного п-кутника.
Доведення
А1А2А3...А2n — даний 2п-кутник, точка О — його центр (рис. 73). Сполучивши вершини А1, A2, A3, ..., А2n-1, A1, отримаємо многокутник А1А3А5...А2п-1. Доведемо, що він правильний. ΔA1OA3 = ΔА3ОА5 = ... = ΔA2n-1OA1, оскільки А1О = А3О = А5О = ... = А2n-1О; A1ОA3 =
A3ОA5 =... =
A2n-1OA1 = 2
A1ОA2. Із рівності цих трикутників маємо: А1А3 = А3А5 = ... = А2n-1А1 і
A1A3A5 =
A3A5A7 = ... =
A2n-1A1A3 = 2
OA1A3. Отже, многокутник A1A3A5...A2n-1 є правильним.
VI. Домашнє завдання
- 1. Вивчити теоретичний матеріал.
- 2. Розв'язати задачі.
- 1) Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх кутів якого дорівнює 150°?
- 2) Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зовнішніх його кутів дорівнює 24°?
- 3) Доведіть, що середини сторін правильного п-кутника є вершинами іншого правильного п-кутника.
VII. Підбиття підсумків уроку
Запитання до класу
- 1. Який многокутник називається правильним?
- 2. Який многокутник називається вписаним у коло? Описаним навколо кола?
- 3. Чи завжди можна вписати коло в правильний многокутник? описати коло навколо правильного многокутника?
- 4. Що таке центр правильного многокутника? апофема?
- 5. Що таке центральний кут правильного многокутника? Чому він дорівнює?