УРОК № 17

Тема. Правильні многокутники

 

Мета уроку: формування поняття правильного многокутника, центра і центрального кута правильного многокутника. Формування вмінь застосовувати вивчений матеріал до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: табл. 4.

Вимоги до рівня підготовки учнів: формують означення правильного многокутника; застосовують вивчені означення до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання домашніх завдань.

 

ІІ. Аналіз результатів тематичної контрольної роботи № 1

 

ІІІ. Повторення й узагальнення знань учнів про многокутники

Фронтальна бесіда

1. 1.       Сформулюйте означення многокутника; вершин многокутника; сторін многокутника; діагоналей многокутника.
2. 2.       Які многокутники вам відомі?
3. 3.       Скільки утворюється трикутників, якщо в n-кутнику (n > 3) провести всі його діагоналі з однієї вершини?
4. 4.       Що таке кут многокутника? зовнішній кут многокутника?
5. 5.       Чому дорівнює сума кутів опуклого n-кутника?
6. 6.       Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого многокутника?
7. 7.       В опуклого многокутника всі зовнішні кути прямі. Який це многокутник?
8. 8.       Чи можна побудувати чотирикутник з двома прямими і двома тупими кутами?
9. 9.       Чи може найменший кут чотирикутника становити 91°?
10. 10.   Чи можна побудувати опуклий п'ятикутник, усі кути якого прямі? Відповідь поясніть.

 

IV. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Означення правильного многокутника

Серед розмаїття опуклих многокутників виділяють многокутники, у яких усі сторони рівні й усі кути рівні. Такі многокутники називають правильними.

Завдання класу

1. 1)      Який трикутник є правильним?
2. 2)      Який чотирикутник є правильним?
3. 3)      Знайдіть кути правильного шестикутника.
4. 4)      Скільки сторін має правильний многокутник, зовнішній кут якого становить 18°?
5. 5)      Знайдіть градусну міру кута правильного п-кутника.
6. 6)      Знайдіть градусну міру зовнішнього кута правильного п-кутника.
7. 7)      Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кут при його вершині дорівнює 108°?

Повторення відомостей про вписані й описані трикутники

Фронтальна бесіда

Запитання до класу з використанням табл. 4.

1. 1)  Яке коло називається описаним навколо трикутника? Що можна сказати про такий трикутник (по відношенню до кола)?
2. 2)  Чи можна описати коло навколо будь-якого трикутника?
3. 3)  Де міститься центр кола, описаного навколо трикутника?
4. 4)  Яке коло називається вписаним у трикутник? Що можна сказати про такий трикутник (по відношенню до кола)?
5. 5)  Чи можна вписати коло в будь-який трикутник?
6. 6)  Де міститься центр кола, вписаного в трикутник?

 

Таблиця 4

 

Вписані й описані трикутники
Вписані трикутники
Описані трикутники

 

Означення вписаних і описаних многокутник

Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до цього кола.

Запитання до класу

1. 1)  Де міститься центр кола, описаного навколо многокутника? Чому?
2. 2)  Чи завжди можна описати коло навколо даного многокутника?
3. 3)  Побудуйте прямокутник та опишіть коло навколо нього.
4. 4)  Де міститься центр кола, вписаного в многокутник? Чому?
5. 5)  Чи завжди можна вписати коло в даний многокутник?
6. 6)  Побудуйте ромб та впишіть у нього коло.
7. 7)  Побудуйте правильний чотирикутник. Впишіть в нього коло й опишіть коло навколо нього.

Вивчення теореми

Теорема. Правильний многокутник є вписаним у коло й описаним навколо кола.

Доведення

Нехай А і В — дві сусідні вершини правильного многокутника (рис. 72).

 

Проведемо бісектриси кутів А і В, які перетинаються в точці О. Трикутник АОВ — рівнобедрений (OAB = ОВА = , де α — кут правильного многокутника). Сполучимо точку О з вершиною С, що є сусідньою з вершиною В. ΔАВО =    = ΔСВО (за першою ознакою рівності трикутників).

Із рівності трикутників випливає, що трикутник ОВС — рівнобедрений з кутом C = , тобто CO — бісектриса кута С.

Потім сполучимо точку О із вершиною D, що є сусідньою з вершиною С, і доводимо, що трикутник COD — рівнобедрений і DO — бісектриса кута D і т.д.

Отже, ΔABO = ΔBCO = ΔCDO = ... . Усі ці трикутники мають рівні бічні сторони і рівні висоти, проведені до їхніх основ. Звідси випливає, що всі вершини многокутника лежать на колі з центром О і радіусом, що дорівнює бічним сторонам трикутників, а всі сторони многокутника дотикаються до кола з центром О і радіусом, що дорівнює висотам трикутників, проведеним із вершини О. Теорему доведено.

Можна запропонувати учням самостійно довести цю теорему, а потім провести фронтальну бесіду за рис. 72.

Запитання до класу

1. 1.   Чому бісектриси кутів А і В перетинаються?
2. 2.   α — кут многокутника. Чому дорівнюють кути ОАВ і ОВА?
3. 3.   Визначте вид трикутника АОВ. Обґрунтуйте відповідь.
4. 4.   Чому ΔАВО = ΔВОС, ΔBOC = ΔCOD?
5. 5.   Чому OA = OB = OC = OD? Який висновок можна зробити з цієї рівності?
6. 6.   Чому висоти трикутників АОВ, ВОС, COD, проведені з точки О, рівні?
7. 7.   Як буде розташовуватися коло з центром у точці О і радіусом, що дорівнює висоті трикутника, по відношенню до многокутника? Чому?

Слід зазначити, що з цієї теореми можна сформулювати такі наслідки.

1. 1)  Усі бісектриси кутів правильного многокутника перетинаються в одній точці, яка є центром описаного кола.
2. 2)  Усі серединні перпендикуляри, проведені до сторін правильного многокутника, перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.
3. 3)  Центри вписаного й описаного кіл у правильному многокутнику збігаються.
4. 4)  Відрізок, що сполучає центр правильного многокутника з серединою сторони многокутника, є радіусом вписаного кола. Цей відрізок називається апофемою правильного многокутника.

 

Означення центрального кута правильного многокутника

Кут, під яким видно сторону правильного многокутника з його центра, називається центральним кутом многокутника.

Завдання класу

1. 1)  Чому дорівнює центральний кут правильного трикутника?
2. 2)  Чому дорівнює центральний кут правильного чотирикутника?
3. 3)  Чому дорівнює центральний кут правильного n-кутника?
4. 4)  Доведіть, що центральний кут правильного n-кутника дорівнює зовнішньому куту цього многокутника.

 

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Виконання вправ

1. 1.   Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх кутів якого дорівнює 135°?

Розв’язання

Оскільки  = 135°, то 180 ∙ (n – 2) = 135n; 180n – 360 = 135n;  180n – 135n = 360; 45n = 360; n = 360 : 45, n = 8.

Відповідь. 8 сторін.

 

1. 2.   Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зовнішніх його кутів дорівнює 36°?

Розв'язання

Оскільки  = 36°, то 360 = 36n; n = 360 : 36, n = 10.

Відповідь. 10 сторін.

1. 3.   Доведіть, що взяті через одну вершини правильного 2п-кутника є вершинами правильного п-кутника.

Доведення

А1А2А3...А2n — даний 2п-кутник, точка О — його центр (рис. 73). Сполучивши вершини А1, A2, A3, ..., А2n-1, A1, отримаємо многокутник А1А3А5...А2п-1. Доведемо, що він правильний. ΔA1OA3 = ΔА3ОА5 = ...  = ΔA2n-1OA1, оскільки А1О = А3О = А5О = ... = А2n-1О; A1ОA3 = A3ОA5 =... = A2n-1OA1 = 2A1ОA2. Із рівності цих трикутників маємо: А1А3 = А3А5 = ... =   А2n-1А1 і A1A3A5 = A3A5A7 = ... = A2n-1A1A3 = 2OA1A3. Отже, многокутник A1A3A5...A2n-1 є правильним.

 

 

VI. Домашнє завдання

1. 1.   Вивчити теоретичний матеріал.
2. 2.   Розв'язати задачі.
3. 1)  Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх кутів якого дорівнює 150°?
4. 2)  Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний із зовнішніх його кутів дорівнює 24°?
5. 3)  Доведіть, що середини сторін правильного п-кутника є вершинами іншого правильного п-кутника.

 

VII. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. 1.   Який многокутник називається правильним?
2. 2.   Який многокутник називається вписаним у коло? Описаним навколо кола?
3. 3.   Чи завжди можна вписати коло в правильний многокутник? описати коло навколо правильного многокутника?
4. 4.   Що таке центр правильного многокутника? апофема?
5. 5.   Що таке центральний кут правильного многокутника? Чому він дорівнює?