ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 18

Тема. Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних многокутників


Мета уроку: Виведення формул для радіусів вписаних і описаних кіл правильного многокутника. Формування вмінь застосовувати виведені формули до розв'язування задач.

Тип уроку:  комбінований.

Наочність і обладнання: табл. 5, 6.

Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють формули радіусів вписаного та описаного кіл правильного многокутника; радіусів вписаного й описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника (квадрата), шестикутника та доводять їх.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час виконання домашніх завдань.

Задача 1. Розв'язання

Оскільки   = 150°, то 180 ∙ (n – 2) = 150n; 180n – 360 = 150n;   30n = 360; n = 12.

Відповідь. 12 сторін.

Задача 2. Розв'язання

Оскільки  = 24°, то 360 = 24n; n = 15.

Відповідь. 15 сторін.

Задача 3. Доведення

Нехай А1А2...Аn — даний правильний n-кутник (рис. 74), точка О — його центр. В1, В2, ..., Вn — середини сторін А1А2, А2А3, …, АnА1.

Тоді ОВ1 = ОВ2 = ... = ОВn     — як радіуси вписаного кола в многокутник А1А2...Аn і В1ОВ2 = В2ОВ3 = ... = BnOB1 = 2B1OA2. Рівнобедрені трикутники В1ОВ2, В2ОВ3,..., ВnОВ1 рівні за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: В1В2 = В2В3 = ... = ВnВ1і B1B2B3= B2B3B4 = ...= BnB1B2 = 2OB1B2. Отже, n-кутник В1В2...Вn правильний.


Математичний диктант

Дано правильний п-кутник.

Варіант 1 (n = 4), варіант 2 (n = 6).

Знайдіть:

а) суму кутів многокутника;

б) внутрішній кут многокутника;

в) зовнішній кут многокутника;

г) центральний кут многокутника;

д) сторону многокутника, якщо його периметр дорівнює 24 см;

є) апофему многокутника, якщо його сторона дорівнює 20 см.

Відповіді

Варіант 1. а) 360°; б) 90°; в) 90°; г) 90°; д) 6 см; є) 10 см.

Варіант 2. а) 720°; б) 120°; в) 60°; г) 60°; д) 4 см; є) 10 см.


II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Виведення формул радіусів вписаного і описаного кіл правильного многокутника

Нехай задано сторону an правильного n-кутника (рис. 75), знайдемо радіус R описаного кола і радіус r вписаного кола.

Розглянемо трикутник АОВ, у якому АВ = an, АОВ =  як центральний кут правильного n-кутника. Проведемо висоту ОС цього трикутника, тоді АОС =  =  = .

 

Із трикутника АОС знаходимо:

R = AO =  =  ; r = OC =  = .

Отже, , .

Виведення формул радіусів вписаного і описаного кіл правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника.

Виразимо радіуси описаного та вписаного кіл через сторону правильного трикутника, чотирикутника і шестикутника.

Для правильного трикутника (рис. 76):

;

.

 

 

Для правильного чотирикутника (рис. 77):

;

.

 

 

Для правильного шестикутника (рис. 78):

;

.

 

 

Результати наших досліджень оформимо у вигляді табл. 5.

 

Таблиця 5


                                         n

 R, r

n — довільне,

n = 3

n = 4

n = 6

R

a6

r


Виконання вправ

  1. 1)  Сторона квадрата дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл.
  2. 2)  Сторона правильного трикутника дорівнює 15 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл.
  3. 3)  Сторона правильного шестикутника дорівнює 12 см. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл.
  4. 4)  У правильного трикутника радіус вписаного кола вдвічі менший за радіус описаного кола. Доведіть це.

Доведення

Оскільки R =  , а r = , то R : r =  ∙  = 2, що і треба було довести.

  1. 5)  Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, дорівнює 2 см. Знайдіть сторону трикутника і радіус кола, вписаного в цей трикутник.
  2. 6)  Радіус кола, вписаного в правильний чотирикутник, дорівнює  см. Знайдіть сторону чотирикутника і радіус кола, описаного навколо цього чотирикутника.
  3. 7)  Радіус кола, описаного навколо правильного шестикутника, дорівнює  см. Знайдіть сторону цього шестикутника та діаметр кола, вписаного в цей шестикутник.

 

Колективне розв'язування задачі

Виразіть сторону аn правильного n-кутника через радіус R описаного навколо нього і радіус r вписаного в нього кола. Обчисліть аn, якщо n = 3, 4, 6.

Результати розв'язування задачі можна оформити у вигляді табл. 6.

 

Таблиця 6

 

                                                                    R, r

an

R

г

an

2R sin

2r tg

a3

R

2r

a4

R

2r

а6

R

 r


III. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

  1. 1.   Хорда, яка перпендикулярна до радіуса й проходить через його середину, дорівнює стороні правильного вписаного трикутника. Доведіть це.

Доведення

Нехай AB  OD,DC = CO (рис. 79). У прямокутному трикутнику ВОС катет CO дорівнює половині гіпотенузи ВО. Нехай

BO = R, тоді СО = , АВ = 2 ВС = 2  =  = R.

Отже, довжина хорди дорівнює стороні правильного трикутника.

 

 

 

  1. 2.   Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює а. Знайдіть сторону правильного шестикутника:

а) вписаного в це коло;

б) описаного навколо цього кола.

Розв'язання

Сторона правильного трикутника дорівнює а, отже, радіус описаного кола R = .

а) Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо шестикутника, і тому сторона цього шестикутника b = R = .

б) Радіус кола, описаного навколо трикутника, є апофемою правильного шестикутника, і тому сторона цього шестикутника b =  =  = .

Відповідь: а) b = ; б) b = .

 

IV. Домашнє завдання

  1. 1.   Вивчити формули радіусів вписаного і описаного кіл правильного n-кутника.
  2. 2.   Розв'язати задачі.
  3. 1)  Сторона правильного вписаного в коло трикутника дорівнює а. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.
  4. 2)  У коло радіуса 4 см вписано правильний трикутник, на стороні якого побудовано квадрат. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата.

 

V. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

  1. 1.   Запишіть, як виражаються радіуси вписаного й описаного кіл правильного n-кутника через його сторону.
  2. 2.   Чому дорівнюють радіуси вписаних і описаних кіл для правильного трикутника, чотирикутника, шестикутника?




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити