ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 2

Тема. Тотожності sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα


Мета уроку: виведення формул sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα. Формування вмінь учнів знаходити тригонометричні функції тупих кутів.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13], табл. 1. Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують формули sin2α + cos2α = 1; sin(180°- α) = sinα; cos(180°- α) = -cosα; sin(90°- α) = cosα; cos(90°- α) = sinα до розв'язування вправ.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів у ході виконання домашніх завдань.

Фронтальне опитування

1)  Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°.

2)  Користуючись таблицею (або калькулятором), знайдіть:

asin 112°, cos 112°, tg 112°;      

б) sin 149°, cos 149°, tg 149°;

в) sin 167°, cos 167°, tg 167°.


II. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Основна тригонометрична тотожність

Слід зазначити, що основну тригонометричну тотожність sin2α + cos2α = 1 у восьмому класі доведено для гострого кута α. Покажемо, що ця тотожність справедлива для будь-якого кута sin 0° до 180°.

Якщо кут α — тупий (рис. 6), тоді із прямокутного трикутника ОАВ (В = 90°, АВ = у , ВО = -х, ОА = 1) за теоремою Піфагора маємо: ОВ2 + АВ2 = ОА2, (-x)2 + у2 = 1, х2 + у2 = 1. Ураховуючи, що x = cosα, у = sinα, маємо sin2α + cos2α = 1.

Якщо α = 0°, тоді cos2 0° + sin2 0° = 12 + 02 = 1.

Якщо α = 90°, тоді cos2 90° + sin2 90° = 02 + 12 = 1.

Якщо α = 180°, тоді cos2 180° + sin2 180° = (-1)2 + 02 = 1.

Отже, для будь-якого кута α (0° < α < 180°) виконується тотожність sin2 α + cos2 α = 1.



Формули доповнення

У 8-му класі для гострого кута а було доведено формули доповнення, які виражають функції кута 90°- α через функції кута α. Нагадаємо їх:

sin(90° - α) = cosα, cos(90° - α) = sinα, tg(90°- α) =  або tg(90°- α) = ctgα.

Наприклад, sin 30° = cos 60° = cos 45° = sin 45° = cos 30° = sin 60° = .

Слід зазначити, що ці формули справедливі і для тупого кута a, проте це спричинює необхідність вводити тригонометричні функції від'ємних кутів. Із цим матеріалом учні ознайомляться в 10-му класі.

Формули sin(180°- α) = sinα, cos(180°- α) = - cosα

Розглянемо коло з центром О у початку координат і радіусом 1. Відкладемо кут α — гострий кут, який утворює радіус кола з додатною віссю Ох. Побудуємо кут 180°- α. Для цього відкладемо кут В1ОА1 від від'ємної півосі Ох, тоді A1OB = 180° - α (рис. 7).



Нехай координати точок А і А1 відповідно (х; у) і (х1; у1), ∆ОВА = ∆ОВ1А1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Тоді sin (180°- α) = y1 = y = sinα, cos (180°-α) = = х1 = - x = -cos α, tg (180°- α) =  =  =  = - tg α. Ці формули дають можливість, знаючи значення тригонометричних функцій гострих кутів, знаходити значення тригонометричних функцій тупих кутів.

Наприклад,

sin 120° = sin (180° - 60°) = sin60° = ,

cos 120° = cos (180° - 60°) = - cos 60° = ,

tg 120° = tg (180° - 60°) = - tg 60° = .

Далі слід запропонувати учням знайти: sin 135°, cos 135°, tg 135°, sin 150°, cos 150°, tg 150°. Після цього результати треба занести до табл. 1, якою учні будуть користуватися протягом наступних уроків.


Таблиця 1

 

Функція

Кут

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

sin α

1

cos α

0

tg α

1

-

- 1

 

IIIЗакріплення й осмислення нового матеріалу

Виконання вправ

1.   Спростіть вираз:

a) 1 – cos2α;                                 

б) (1 – cosα)(1 + cosα);

в) sin4α + sincos2α + cos2α;         

г) 1 + 2sincos2α.

2.   Знайдіть:

а) cosα і tgα, якщо sinα = 0,8 і 90° < α < 180°;

б) sinα і tgα, якщо cosα =  і 90° < α < 180°.


IV. Домашнє завдання

1.   Вивчити формули та значення тригонометричних функцій деяких кутів (табл. 1).

2.   Знайти cosα і tgα, якщо sinα =  і 90° < α < 180°.

3.   Спростити sin4α + sincos2α – sin2α + 1.



V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1.   Чи можуть одночасно виконуватися рівності:

а) sin α = cos α = ;

б) sin α = cos α = ?

2.   Визначте знак виразу: 
а) sin 171°; б) cos 139°;  в) tg 173°.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити