ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів
УРОК № 38
Тема. Перетворення подібності та його властивості. Гомотетія
Мета уроку: формування понять перетворення подібності й гомотетії; вивчення властивостей перетворення подібності; формування вмінь застосовувати вивчені властивості й означення до розв'язування задач.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця «Перетворення подібності» [13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: описують перетворення подібності й гомотетію; будують фігури, у які переходять дані фігури при перетвореннях подібності; формулюють властивості перетворення подібності; застосовують вивчені властивості й означення до розв'язування задач.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
- 1. Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання.
- 2. Фронтальна бесіда
- 1) Що називається паралельним перенесенням?
- 2) Сформулюйте основні властивості паралельного перенесення.
II. Самостійна робота
Самостійну роботу навчального характеру можна провести за посібником [14], тест 13 «Поворот і паралельне перенесення».
III. Поетапне сприймання та усвідомлення нового матеріалу
Поняття перетворення подібності й гомотетії
Перетворення фігури F на фігуру F1 називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в ту саму кількість разів (рис. 172). Або іншими словами: якщо довільні точки X і Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки Х1 і Y1 фігури F1, то Х1Y1 = k · XY, де k — те саме число для будь-яких точок X і Y. Число k називається коефіцієнтом подібності. Якщо k = 1, то перетворення подібності є переміщенням.
Нехай F — дана фігура і О — фіксована точка (рис. 173). Через довільну точку X фігури F проведемо промінь ОХ і відкладемо на ньому відрізок ОХ1, який дорівнює k · ОХ, де k — додатне число. Перетворення фігури F, при якому кожна її точка X переходить у точку Х1 і ОХ1 = k · OX, називається гомотетією відносно точки О; число k — коефіцієнтом гомотетії; фігури F і F1 — гомотетичними.
Властивості гомотетії
- 1) Гомотетія з коефіцієнтом k є перетворенням подібності з коефіцієнтом k.
- 2) При гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму або сама в себе; відрізок — у паралельний йому відрізок; кут — у рівний йому кут.
- 3) На координатній площині гомотетія точок А(х; у) і В(х1; у1) задається формулами:
Властивості перетворення подібності
- 1) Перетворення подібності переводять прямі у прямі; промені — у промені; відрізки — у відрізки.
- 2) Кожна фігура подібна сама собі з коефіцієнтом подібності k = 1.
- 3) Перетворення подібності зберігає кути між променями.
Виконання вправ
- 1. Побудуйте фігуру, яка гомотетична заданому трикутнику ABC, прийнявши за центр гомотетії одну з його вершин, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює 2.
- 2. Побудуйте фігуру, яка гомотетична чотирикутнику ABCD при гомотетії з коефіцієнтом 0,5 і центром О — точкою перетину діагоналей.
- 3. При гомотетії точка X переходить у точку Х1, а точка Y — у точку Y1. Як знайти центр гомотетії, якщо точки X, Х1, Y, Y1 не лежать на одній прямій?
- 4. При гомотетії точка X переходить у точку Х1. Побудуйте центр гомотетії, якщо коефіцієнт гомотетії дорівнює 2.
IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Розв'язування задач
- 1. Вершини трикутника ABC мають координати A(1; 1), В(-3; 5), С(-2; -3). Запишіть координати вершин трикутника, у який переходить трикутник ABC при гомотетії з коефіцієнтом 3 і центром у початку координат.
- 2. Запишіть рівняння кола, на яке відображається коло (х – 2)2 + (у + 2)2 = 16 при гомотетії з центром у початку координат і коефіцієнтом, який дорівнює:
а) 2; б) 0,5.
- 3. Запишіть рівняння прямої, яка гомотетична прямій у = 2х – 1 при гомотетії з центром у початку координат і коефіцієнтом, який дорівнює:
а) 3; б) .
- 4. Доведіть властивості гомотетії.
- 5. Доведіть, що основи трапеції гомотетичні відносно точки перетину її діагоналей.
V. Домашнє завдання
- 1. Вивчити теоретичний матеріал.
- 2. Розв'язати задачі.
- 1) Гомотетія з центром у початку координат переводить точку А(3; -6) у точку В(1; -2). Знайдіть коефіцієнт гомотетії.
- 2) Запишіть рівняння кола, у яке переходить коло (x + 3)2 + (y – 3)2 = 9 при гомотетії з центром у початку координат і коефіцієнтом, який дорівнює:
а) 3; б) .
- 3) Доведіть, що основи трапеції гомотетичні відносно точки перетину продовження її бічних сторін.
VI. Підбиття підсумків уроку
Запитання до класу
- 1. Що таке перетворення подібності?
- 2. Що таке гомотетія? центр гомотетії? коефіцієнт гомотетії?
- 3. Середня лінія MN трикутника ABC відтинає від нього гомотетичний трикутник MBN. Чому дорівнює коефіцієнт гомотетії?