ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 4

Тема. Теорема косинусів

 

Мета уроку: вивчення теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника»[13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему косинусів та доводять її.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів у ході їх розв'язування.


ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи


ІІІ. Мотивація навчальної діяльності

Ми приступаємо до вивчення теми «Розв'язування трикутників».

Розв'язати трикутник означає знайти відомі елементи трикутника (сторони, кути) за даними відомими елементами. У 8-му класі ви вже навчилися розв'язувати прямокутні трикутники. Прямокутний трикутник визначається за двома елементами, серед яких є хоча б один лінійний елемент (сторона). Ви вмієте знаходити невідомі елементи прямокутного трикутника, якщо дано: катет і гіпотенузу; гіпотенузу і гострий кут; катет і прилеглий гострий кут; катет і протилежний гострий кут.

Щоб розв'язати довільний (не прямокутний) трикутник, треба знати три елементи, серед яких має бути хоча б один лінійний.

Зараз ви ознайомитеся з теоремою, яка дозволяє за двома сторонами і кутом між ними знаходити третю сторону, невідомі кути трикутника. Ця теорема називається теоремою косинусів.


IV. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Вивчення теореми косинусів

Сформулюємо теорему та ознайомимо з її доведенням учнів.

Теорема. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Доведення

Нехай задано трикутник ABC, доведемо, що а2 = b2 + с2 – 2bc cosα, де а = ВС, b = AC, с = АВ, A = α.

Розглянемо три випадки: якщо кут А є гострим, тупим і прямим.

1-й випадок

Якщо кут А гострий (рис. 8), то проведемо висоту BD і розглянемо прямокутний трикутник BDC. У ньому ВС2 = DC2 + BD2 або a2 = (bb1)2 + h2.   (1)

Виразимо b1 і h через основні елементи трикутника ABC. Із трикутника ABD миємо: h = csinα, b1 = ccosα. Замінивши h і b1 у виразі (1) їх значеннями, знайдемо:

a2 = (b ccosα)2 + с2sin2α = b2 2bc cosα + с2cos2α + c2sin2α = b2 – 2bc cosα + c2(sin2α + cos2α) = b2 – 2bccosα + c2 · 1 = b2 + c2 – 2bc cosα.

Отже, a2 = b2 + c2 – 2bc cosα, що і треба було довести.

2-й випадок

Нехай кут А тупий (рис. 9). Із вершини В проведемо висоту BD на продовження сторони АС. Із прямокутного трикутника BDC маємо:

BC2 = BD2 + DC2 або a2 = h2 + (b + b1)2.         (2)



Значення h і b1 виразимо через основні елементи трикутника ABC. Із трикутника ABD маємо: h = csin(180°- α) = csinα, b1 = ccos(180° - α) = -ccosα. Замінивши h і b1 у виразі (2) їх значеннями, після деяких перетворень маємо:

a2 = c2sin2α + (bccosα) = с2sin2α + b2 – 2bc cosα + c2cos2α = (c2sin2α + c2cos2α) + b2 2bc cosα = c2(sin2α + cos2α) + b2 2bc cosα = b2 + c2 – 2bc cosα.

Отже, a2 = b2 + c2 – 2bc cosα, що і треба було довести.

3-й випадок

Нехай кут А прямий, α = 90° (рис. 10). У цьому випадку cosα = cos 90° = 0, отже, маємо:

b2 + c2 – 2bc cosα = b2 + c2 – 2bc · 0 = b2 + с2. (3)

 


Але за теоремою Піфагора маємо: b2 + с2 = а2.        (4)

Порівнявши вирази (3) і (4), отримаємо: a2 = b2 + c2 – 2bc cosα. Теорему, доведено.

Теорему косинусів іноді називають узагальненою теоремою Піфагора. Така назва пояснюється тим, що в теоремі косинусів міститься як частковий випадок теорема Піфагора. Справді, якщо в трикутнику ABC кут А прямий, то cos A = cos 90° = 0, і за теоремою косинусів одержуємо а2 = b2 + с2, тобто квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.


Розв'язування задач

При розв'язуванні цих задач слід домовитися, що сторони трикутника позначатимемо буквами a, b, с, а протилежні їм кути (при вершинах А, В, С) — грецькими літерами α, β, γ. Слід також згадати значення тригонометричних функцій деяких кутів (табл. 1), зазначивши, що синуси суміжних кутів рівні, а косинуси суміжних кутів — протилежні числа: sin(180°- α) = sinα, cos(180°- α) = -cosα. Розв'яжемо такі задачі.

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють  см і 1 см, а кут між ними 30°. Знайдіть третю сторону трикутника. (Відповідь. 1 см.)
  2. 2.   Знайдіть третю сторону трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють 1 см і  см і утворюють кут 135°. (Відповідь. 5 см.)

 

V. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

  1. 1.   Сторони трикутника дорівнюють 1 см, 3 см і 5 см. Знайдіть кут, який лежить проти найбільшої сторони.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC а = 1 см, b = 3 см, с = 5 см. За теоремою косинусів маємо: с2 = b2+ a2 – 2ba cosγ, тоді 52 = 12 +  – 2 · 1 · 3cosγ;   25 = 19 – 6cosγ; 6cosγ = - 6; cosγ =  =  = ;

тоді γ = 180° - 45° = 135°.

Відповідь. 135°.

  1. 2.   Дві сторони трикутника а і с дорівнюють 5 см і 7 см, а кут γ дорівнює 60°. Знайдіть сторону b.

Розв'язання

За теорему косинусів маємо:

с2 = а2 + b2 – 2ab cosγ, або 72 = 52 + b2 – 2 · 5 ·  bcos60°, звідси 49 = 25 + b2 5b, або b2 – 5b – 24 = 0. Розв'язавши рівняння, одержимо b1 = 8; b2 = -3. Оскільки b > 0, то значення b2 не задовольняє умову задачі.

Відповідь. 8 см.

  1. 3.   У трикутнику дві сторони дорівнюють 5 м і 6 м, а синус кута між ними дорівнює 0,6. Знайдіть третю сторону.

Розв'язання

Нехай а = 5 м, b = 6 м, sinγ = 0,6. Оскільки sin2γ + cos2γ = 1, то 0,36 + cos2γ = 1, cos2γ = 0,64 і cosγ = ±0,8.

1-й випадок:

cosγ = 0,8. Тоді с2 = а2 + b2 – 2abcosγ = 25 + 36 – 2 · 5 · 6 · 0,8 = 61 – 48 = 13; с =  м.

2-й випадок:

cosγ = -0,8. Тоді с2 = а2 + b2 – 2abcosγ = 25 + 36 + 2 · 5 · 6 · 0,8 = 61 + 48 = 109; с =  м.

Відповідь.  м або  м.

 

VI. Домашнє завдання

  1. 1.   Вивчити теорему косинусів.
  2. 2.   Розв'язати задачу.

Сторони трикутника дорівнюють 5 м, 6 м і 7 м. Знайдіть косинуси кутів трикутника.

 

VII. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

  1. 1.   Сформулюйте теорему косинусів.
  2. 2.   Знайдіть невідому сторону трикутника (рис. 11).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити