ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 49

Тема. Скалярний добуток векторів

 

Мета уроку: формування поняття скалярного добутку векторів; формування вмінь застосовувати вивчені означення та властивості до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Декартові координати та вектори на площині»[13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють означення скалярного добутку, його властивості; застосовують вивчені означення та властивості до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

  1. 1.   Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів під час їх виконання.
  2. 2.   Математичний диктант

Дано два вектори:

Варіант 1                     

(1; 0), (0; -1);               

Варіант 2

(-1; 0), (0; 1).

Знайдіть:

а) координати вектора 2;

б) координати вектора -;

в) довжину вектора  + ;

г) довжину вектора  – ;

д) координати вектора 3 + 4;

є) довжину вектора 3 + 4.


ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи


ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів  і  (позначення: (·), або , або   (; )) називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто · = || · ||cosφ (рис. 211).

 

Два ненульові вектори тоді і тільки тоді взаємно перпендикулярні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто     ·  = 0 (  , ).

Властивості скалярного добутку

  1. 1)  ·= ·(переставний закон);
  2. 2)  2 = ||2, або || = = ;
  3. 3)  ( + ) ·  = · + · (розподільний закон);
  4. 4)  (λ) ·  = λ(·) (сполучний закон).

Примітка 1. Косинус кута між ненульовим векторами  та  виражається формулою , яка випливає з означення скалярного добутку.

Примітка 2. Властивість 2 скалярного добутку, а саме формула || = = = , дозволяє обчислювати довжину вектора в загальному випадку.

Примітка 3. Розподільний закон справджується для будь-якого скінченного числа доданків. Наприклад, правильна формула ( +  + ) ·  = · + · + ·.

Скалярний добуток двох векторів, які задано координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат.

Якщо задано вектори (a1; a2) і (b1; b2) на площині, то ·= а1b1 + а2b2.

 

Розв'язування задач

  1. 1.   Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 13. Знайдіть скалярний добуток · (рис. 212).

 

Розв'язання

Оскільки || = || = 13, A = 60°, то · = ||·||cosA =      = 13 · 13 cos60° = 169 ·  = 84,5.

Відповідь. 84,5.

  1. 2.   Задано вектори  =   4,  = 3 + 2, які взаємно перпендикулярні. Вектори  і  — одиничні вектори. Знайдіть кут між векторами  і  (в градусах).

Розв'язання

Оскільки || = 1 і  ·  = 0, то маємо · = ( – 4)(3 + 2) = 32 + 2– 12 – 8b2 =  3 · ||2 – 10|||| со – 8||2 = 3 - 10cosφ – 8  = - 5 – 10cosφ,

тоді – 5 – 10cosφ = 0, со = -, φ = 120°.

Відповідь. 120°.


IV. Розв'язування задач

  1. 1.   Знайдіть кут між векторами (1; 2) і .
  2. 2.   Дано вершини трикутника ABC: А, В, С. Знайдіть його кути.
  3. 3.   Доведіть, що вектори (т; п) і (-n; m) перпендикулярні або дорівнюють нулю.
  4. 4.   Дано вектори (3; 4) і (m; 2). При якому значенні т вони перпендикулярні?
  5. 5.   Дано вектори (1; 0) і (1; 1). Знайдіть таке число х, щоб вектор  + x був перпендикулярний до вектора .
  6. 6.   Доведіть, що коли  і  — одиничні неколінеарні вектори, то вектори    +  і  –  відмінні від нуля й перпендикулярні.
  7. 7.   Дано вектори  і . Знайдіть абсолютну величину вектора  + , якщо  || = || = 1, а кут між векторами  і  дорівнює 60°.

 

V. Домашнє завдання

  1. 1.   Вивчити теоретичний матеріал.
  2. 2.   Розв'язати задачу.

Дано вершини трикутника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Знайдіть косинуси кутів цього трикутника.

 

VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу

  1. 1.   Дайте означення скалярного добутку векторів та сформулюйте властивості скалярного добутку векторів.
  2. 2.   Сформулюйте властивість і ознаку перпендикулярних векторів.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити