ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 5

Тема. Наслідки теореми косинусів

 

Мета уроку: виведення наслідків із теореми косинусів. Формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів і наслідків з неї до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему косинусів до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашнього завдання можна за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі

Нехай а = 5 м, b = 6 м, с = 1 м. Тоді:

1) a2 = b2 + c2 – 2bc cosα; 25 = 36 + 49 – 2 ∙ 6 ∙ 7 ∙ cosα; 84cosα = 60; cosα =  =  = .

2) b2 = a2 + c2 – 2accosβ; 36 = 25 + 49 – 2 ∙ 5 ∙ 7 ∙ cosβ; 70cosβ = 38; cosβ =  = .

3) c2 = a2 + b2 – 2abcosγ; 49 = 25 + 36 – 25 ∙ 6 ∙ cosγ; 60cosγ = 12; cosγ =  = .

Відповідь. ; ; .

Самостійне виконання вправ

Двоє учнів виконують завдання за відкидними дошками, решта — у зошитах. Після закінчення роботи слід виконати самоперевірку (взаємоперевірку) під керівництвом учителя за записами, що зроблені на відкидних дошках.

Варіант 1

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 1 см, а кут між ними становить 135°. Знайдіть третю сторону. (Відповідь. 5 см)
  2. 2.   Сторони трикутника дорівнюють 4см, 7 см, 5 см. Знайдіть кут, який лежить проти найменшої сторони. (Відповідь. 45°)

Варіант 2

  1. 1.   Дві сторони трикутника дорівнюють 3см і 2 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть третю сторону. (Відповідь. 7 см)
  2. 2.   Сторони трикутника дорівнюють 5см, 13 см і 7 см. Знайдіть кут, який лежить проти найменшої сторони. (Відповідь. 30°)

 

II. Поетапне сприймання й усвідомлення навчального матеріалу

Застосування теореми косинусів

Формула a2 = b2 + c2 – 2bc cosα дозволяє знаходити довжину однієї зі сторін за відомими довжинами двох інших сторін і кутом між ними.

Теорема косинусів дозволяє також за даними сторонами трикутника знаходити його кути.

Так, із рівності a2 = b2 + c2 – 2bc cosα одержуємо: 2bc cosα = b2 + с2 – а2, звідси cosα = .

Якщо а2 < b2 + с2, то b2 + с2 – а2 > 0 і, отже, cosα > 0, тобто 0° < α < 90° , кут А — гострий.

Якщо а2 = b2 + с2, то b2 + с2 – а2 = 0 і, отже, cosα = 0, тобто α = 90°, A — прямий.

Якщо а2 > b2 + с2, то b2 + с2 – а2 < 0 і, отже, cosα < 0, тобто 90° < α < 180°, A — тупий.

Таким чином, користуючись теоремою косинусів, можна визначати вид кутів (гострий, прямий, тупий) трикутника, не обчислюючи самих кутів.

Розв'язування вправ

Визначте вид кута трикутника, який лежить проти найбільшої сторони, якщо сторони трикутника дорівнюють:

а) 7 м, 8 м, 12 м;  б) 3 см, 4 см, 5 см; в) 8, 10, 12.

Розв'язання

а) Оскільки (72 + 82) – 122 = 49 + 64 – 144 = - 31 < 0, то кут, який лежить проти найбільшої сторони, є тупим.

б) Оскільки (32 + 42) – 52 = 9 + 16 – 25 = 0, то кут, який лежить проти найбільшої сторони, є прямим.

в) Оскільки (82 + 102) – 122 = 64 + 100 – 144 = 20 > 0, то кут, який лежить проти найбільшої сторони, є гострим.

 

Наслідки з теореми косинусів

Якщо розглянути формулу a2 = b2 + с2 – 2bc cosα, то вираз bcosα являє собою проекцію сторони b на сторону с або продовження сторони с і позначається прсb.

Якщо 0° < α < 90°, то із трикутника ACD (рис. 12, а) маємо

AD = bcosα = npcb, і тоді а2 = b2 + с2 – 2с прсb.

Якщо 90° < α < 180°, то із трикутника ACD (рис. 12, б) маємо

AD = bcos(l80°- α) = -bcosα = npcb, і тоді а2 = b2 + c2 + 2c npcb.


 

Таким чином, квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої на першу. Знак «+» слід брати тоді, коли протилежний кут тупий, а знак «-» — коли гострий.

Розв'язування задач

  1. 1.   Сторони трикутника дорівнюють 4 м, 5 м і 6 м. Знайдіть проекції сторін 4 м і 5 м на пряму, на якій лежить сторона 6 м.

Розв’язання

Нехай АВ = 5 м, ВС = 4 м, АС = 6 м (рис. 13).

Тоді ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АСпрАСАВ; 16 = 25 + 36 – 2 ∙ 6 ∙ прАСАВ;

12 ∙ прАСАВ = 45; прАСАВ =  = 3 (м).

Аналогічно AS2 = ВС2 + AC2 – 2 ∙ ACnpACВС; 25 = 16 + 36 – 2 ∙ 6 ∙ прАСВС; 12 ∙ прАсВС = 27; прАСВС =  = 2 = 2 (м).

Відповідь. 2 м, 3м.


 

  1. 2.   Знайдіть висоти трикутника, сторони якого дорівнюють 5 м, 6 м, 7 м.

Розв'язання

Нехай а = 5 м, b = 7 м, с = 6 м (рис. 14). Оскільки a2 = b2 + c2 – 2b npbc, то  25 = 49 + 36 – 14 ∙ npbc, 14 ∙ прbc = 60, прbc =  =  = 4 (м), AD = 4 м.

Із трикутника ABD маємо: BD = =  =  =  = =  (м).

Оскільки b2 = а2 + с2 – 2с прса, то 49 = 25 + 36 – 12прса, 12 прса = 12, прса = 1, КВ = 1 м.

Із трикутника BCK маємо: СК =  = = = 2 (м).

Оскільки c2 = a2 + b2 – 2a npab, то 36 = 25 + 49 – 25npab, 10 npab = 38, npab =  =  = 3 (м), CF = 3м.

Із трикутника ACF маємо: AF = = == (м).

Відповідь. м, 2м, м.

 


ІІІ. Домашнє завдання

  1. 1.   Вивчити наслідки з теореми косинусів.
  2. 2.   Розв'язати задачі.
  3. 1)  Дано дві сторони трикутника а і b, які дорівнюють відповідно 12 і 8 см та утворюють кут γ, який становить 60°. Знайдіть третю сторону трикутника і два інших кути.
  4. 2)  Дано три сторони трикутника: а = 4, b = 5, с = 1. Знайдіть кути цього трикутника.
  5. 3)  Дано трикутник зі сторонами а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с. (Цю задачу можна запропонувати для учнів, які цікавляться математикою.)

 

IV. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

  1. 1.   Заповніть пропуски:

а) у трикутнику ABC b2 = с2 + ... - ...;

б) у трикутнику ABC cosβ = ;

в) якщо в трикутнику ABC a2 = b2 + c2, то трикутник ...;

г) якщо в трикутнику ABC b2 > a2 + c2, то B — ...;

д) якщо в трикутнику ABC b2 < a2 + с2, то B ....

  1. 2.   Визначте вид кута трикутника, який лежить проти найбільшої сторони трикутника, сторони якого дорівнюють:

а) 2 см, 3 см, 4 см;      

б) 3 см, 4 см, 5 см;      

в) 4 см, 5 см, 6 см.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити