ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 56

Тема. Циліндр. Площа поверхні та об'єм циліндра


Мета уроку: повторення, приведення в систему й розширення відомостей про циліндр, площу поверхні та об'єм циліндра; формування вмінь учнів знаходити площі поверхонь і об'єми циліндрів.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Початкові відомості стереометрії» [13]; моделі циліндрів.

Вимоги до рівня підготовки учнів: пояснюють, що таке циліндр та його елементи; зображують і знаходять на рисунку циліндр; записують й пояснюють формули площі поверхні та об'єму циліндра; застосовують вивчений матеріал до розв'язування задач, у тому числі прикладного змісту.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаного домашнього завдання та відповісти на запитання учнів, які виникли в них при розв'язуванні задач.

Розв'язання

1) Нехай SABCD — правильна піраміда (рис. 258).

SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = AD = a.

Snip = Sосн + Sбічн = AB2 + 4 ∙  = а2 + а2 = a2(1 + ).

Відповідь. а2(1 + ).

 

 

2) ABCD — ромб (рис. 259), AC = 8 см, BD = 6 cm, SO = 10 cm.

V = Sосн ∙ H =  ∙  ∙ SO =  ∙  ∙ 10 = 80 (см3).

Відповідь. 80 см3.

 

 

3) SABCD — правильна піраміда (рис. 259). AC = 4 см, ASO = 45°.

AO = AC =  ∙ 4 = 2 (см). SO = AO = 2 (см).

Sосн = AC2 =  ∙ 42 = 8(см2). V = Sосн ∙ SO =  ∙ 8 ∙ 2 =  = 5 (см3).

Відповідь. 5см3.


Фронтальна бесіда

Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними.

  1. 1)  Кожне ребро трикутної піраміди дорівнює 6 см (рис. 260).

а) Периметр основи піраміди дорівнює 36 см.

б) Площа основи піраміди дорівнює 9 см2.

в) Площа поверхні піраміди дорівнює 36 см2.

г) Основа висоти піраміди не збігається з центром кола, вписаного в основу піраміди.

 

 

  1. 2)  В основі піраміди лежить квадрат зі стороною 10 см, бічні ребра піраміди дорівнюють 13 см (рис. 261).

а) Периметр основи піраміди дорівнює 40 см.

б) Усі бічні ребра піраміди рівні.

в) Висота бічної грані піраміди, проведена з вершини піраміди, дорівнює 11 см.

г) Площа бічної поверхні піраміди дорівнює 60 см2.

 

  1. 3)  В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з бічною стороною l і кутом а при вершині (рис. 262). Висота піраміди дорівнює Н, основа висоти піраміди — центр кола, описаного навколо основи піраміди.

а) Площа основи піраміди дорівнює 12sinα.

б) Усі бічні ребра піраміди рівні.

в) Усі грані — рівнобедрені трикутники.

г) Об'єм піраміди дорівнює Н12sinα.

 

II. Самостійна робота

Самостійну роботу навчального характеру можна провести за посібником [14], тест 18 «Многогранники».

 

III. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Циліндр та його елементи

Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

На рис. 263 зображено циліндр, утворений обертанням плоского прямокутника ОАВО1 навколо прямої ОО1 — осі циліндра.

 

 

Сторони ОА і O1B описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів називаються радіусами циліндра.

Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні й дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ, циліндра, кінці якого належать основам. Висота циліндра дорівнює його твірній.

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра й діаметру його основи. На рис. 264 прямокутник ABCD — осьовий переріз циліндра.

 

 

Завдання класу

  1. 1.   Наведіть приклади побутових предметів, які мають форму циліндра.
  2. 2.   Користуючись рис. 264, назвіть:

а) радіус циліндра;      

б) твірну циліндра.

  1. 3.   Які властивості мають основи циліндра?
  2. 4.   Які властивості мають твірні циліндра?
  3. 5.   Із купи картону взяли аркуш і вирізали круг. Дістали циліндр з дуже малою висотою. Як практично визначити його висоту?
  4. 6.   Кусок тонкого дроту можна вважати циліндром, у якого радіус дуже малий. Як практично визначити цей радіус?

Площа поверхні та об'єм циліндру

Поверхня циліндра складається з двох рівних основ і бічної поверхні.

Якщо поверхню циліндра розрізати по колах основ і одній із твірних, а потім розгорнути на площині, то дістанемо розгортку циліндра (рис. 265). Вона складається з прямокутника, сторони якого дорівнюють довжині кола основ і висоті циліндра, і двох кругів, що є основами циліндра.

 

 

Площею бічної і повної поверхні циліндра називають площу розгортки бічної і повної поверхонь.

Тоді площа бічної поверхні Sбічн і площа повної поверхні Sцил визначаються формулами:

Sбічн = 2πRH, Sцил = Sбічн + 2Sосн = 2nRH + 2nR2 = 2nR(H + R),

де R, H — радіус і висота циліндра відповідно.

Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи на висоту V = Sосн ∙ H.

Якщо радіус основи циліндра дорівнює R, а висота Н, то його об'єм V = nR2H.

Розв'язання задач

  1. 1.   Діаметр циліндра дорівнює 1 см, а висота дорівнює довжині кола основи. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
  2. 2.   Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 15π см. Знайдіть площу осьового перерізу циліндра.
  3. 3.   Осьовим перерізом циліндра є квадрат із стороною 8 см. Знайдіть бічну і повну поверхні циліндра.
  4. 4.   Знайдіть об'єм тіла, утвореного при обертанні квадрата навколо його сторони, яка дорівнює 2 см.
  5. 5.   Осьовий переріз циліндра — квадрат зі стороною 8 см. Знайдіть об'єм циліндра.
  6. 6.   Знайдіть об'єм циліндра, якщо розгортка його бічної поверхні — квадрат зі стороною 8 см.

Учні складають конспект (зразок наведено у табл. 12).

 

Таблиця 12

 

Циліндр

Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

ОА, О1В — радіуси, АВ — твірна (висота), O1O — вісь

 

Площа поверхні циліндра

Sцил = Sбічн + 2Sосн,

де Sбічн = 2nRH, Sосн = nR2

 

Об'єм циліндра

V = Sосн ∙ H; V = nR2H



IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

  1. 1.   На рис. 266 зображено розгортку циліндра. За наведеними даними знайдіть площу і об'єм циліндра. (Відповідь. 8n см2 і 3n см3.)

 

 

  1. 2.   Діагональ АС осьового перерізу ABCD циліндра дорівнює 10 см, а його висота ОО1 — 8 см (рис. 267). Знайдіть площу поверхні та об'єм циліндра. (Відповідь. 66n см2 і 72n см)

 

  1. 3.   Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює d і утворює кут α з твірною циліндра. Знайдіть площу бічної поверхні та об'єм циліндра. (Відповідь. nd2 sinα cosα,  )

V. Домашнє завдання

  1. 1.   Вивчити формулу площі поверхні та об'єму циліндра.
  2. 2.   Розв'язати задачу.

Об'єм циліндра — 8nсм3, а його висота — 2 см. Знайдіть діагональ осьового перерізу та площу бічної поверхні циліндра.


VI. Підбиття підсумків уроку
Запитання до класу

  1. 1.   Дайте означення циліндра.
  2. 2.   Що таке висота циліндра? осьовий переріз циліндра?
  3. 3.   Чому дорівнює площа бічної поверхні циліндра?
  4. 4.   Чому дорівнює об'єм циліндра?
  5. 5.   На рис. 268 зображено циліндр, радіус якого дорівнює 3 см, а висота – 4 см. Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які – неправильними.

а) Довжина кола основи циліндра дорівнює 6n см.

б) Площа основи циліндра дорівнює 6π см .

в) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 2n см .

г)  Об'єм циліндра дорівнює 24n см3.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити