ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 6

Тема. Розв'язування задач


Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати теорему косинусів і наслідки з неї до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13], посібник [14].

Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують теорему косинусів до розв'язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при їх розв'язуванні

Розв'язування задач

  1. 1.   c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ; с2 =144 + 64 – 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙  = 208 – 96 = 112; с =   10,6.

a2 = b2 + c2 – 2bc cosα; 144 = 64 + 112 – 2 ∙ 8 ∙ 10,6 cosα; 169,6 cosα = 32; cosα  0,19; α  79°.

Тоді β = 180° - α - γ  180° - 60° - 79° = 41°.

Відповідь. с = 10,6, α  79°, β  41°.

  1. 2.   a2 = b2 + c2 – 2bccosα; 16 = 49 + 25 – 70cosα; 70cosα = 58; cosα =0,829; α  34°.

b2 = a2 + c2 – 2accosβ; 25 = 16 + 49 – 56cosβ; 56cosβ = 40; cosβ = 0,714; β  44°.

Тоді γ = 180° - α - β  180° - 34° - 44° = 102°.

Відповідь. α  34°, β  44°, γ  102°.

  1. 3.   Нехай у трикутнику ABC АВ = с, AC = b. BC = a (рис. 15). Проведемо висоту CD (два випадки).
  2. 4.    


За наслідком із теореми косинусів маємо:

а2 = b2 + с2 ± npcb = b2 + c2 ± 2cAD. Звідси AD = .

Із трикутника ACD за теоремою Піфагора маємо:

CD =  =  = .

Відповідь. .

 

ІІ. Самостійна робота

Самостійну роботу навчального характеру можна провести, скориставшись посібником [14], тест 2 «Теорема косинусів та її наслідки».

 

III. Формування вмінь і навичок учнів

Застосування теореми косинусів

Користуючись теоремою косинусів, можна довести кілька важливих теорем.

Наприклад: сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

Доведемо цю теорему, використовуючи теорему косинусів.

Нехай ABCD — паралелограм, AB = CD = a, AD = BC = b, AC = d1, BD = d2 (рис. 16).


 

За теоремою косинусів із трикутника ABD маємо:

BD2 = AB2 + AD2 – 2 ∙ AB ∙ AD ∙ cosA,

= a2 + b2 – 2abcosA.                                                                    (1)

За теоремою косинусів із трикутника ABC маємо:

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 ABBCcosB, або

АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВВС cos(180°- A),

АС2 = АВ2 + ВС2 + 2АВ ВС cosA,  = a2+ b2 + 2abcosA.            (2)

Додавши рівності (1) і (2) почленно, одержимо:  +  = 2(а2 + b2), що і треба було довести.

 

Розв'язування задач

  1. 1.   Сторони паралелограма дорівнюють 23 см і 11 см. Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 2 : 3. (Відповідь. 20 см і 30 см.)
  2. 2.   Діагоналі паралелограма дорівнюють 12 см і 14 см, а різниця сторін становить 4 см. Знайдіть сторони паралелограма. (Відповідь. 7 см і 11 см.)
  3. 3.   Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, дорівнює 6 см. Знайдіть третю сторону.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 17) АВ = 7 см, ВС = 11 см, BD — медіана (AD = DC), BD = 6 см.



Продовжимо медіану BD і відкладемо на продовженні відрізок DF так, що DF = BD. Чотирикутник ABCF — це паралелограм (оскільки діагоналі АС і BF точкою перетину діляться навпіл), тоді AC2 + BF2 = 2 ∙ (AB2 + BC2).

Звідси AC2 + 122 = 2 ∙ (72 + 112), тоді АС2 + 144 = 340; АС2 =196; АС = = = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

  1. 4.   Доведіть, що в опуклому чотирикутнику сума квадратів діагоналей у 2 рази більша від суми квадратів відрізків, які сполучають середини протилежних сторін.

Доведення

Нехай у чотирикутнику ABCD (рис. 18) AN = NB, BF = FC, CK = KD, DM = AM. Оскільки NF = MK = AC, MN = KF = BD і чотирикутник MNFK — паралелограм, то, скориставшись теоремою про суму квадратів діагоналей паралелограма, маємо: NK2 + MF2 = 2(MK2 + MN2) = 2= (AC2 + BD2) або AC2 + BD2 = 2 ∙ (NK2 + MF2), що і треба було довести.


 

  1. 5.   За трьома сторонами а, Ь, с трикутника ABC знайдіть його медіани та, тb, тс (та, тb, тс —медіани, проведені до сторін а, b, с відповідно).

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 19) ВС = а, АС = b, АВ = с, АК — медіана, АК = та. Продовжимо медіану АК так, що AK = KD. Тоді ABDC — паралелограм, у якому діагональ AD = 2ma. Оскільки сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, то AD2 + BC2 = 2(AC2 + АВ2). Звідси (2та)2 + а2 = 2(b2 + с2). Із останньої рівності знаходимо, що та: та = .

Міркуючи аналогічно, знаходимо медіани тb і тс:

тb = ; mс = .

Відповідь. та = ; тb = ; тс =

 

  1. 6.   За трьома медіанами та, тb, тс трикутника ABC знайдіть його сторони a, b, c (та, тb, тс — медіани, проведені до сторін а, b, с відповідно).

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC AN = ma, ВМ = тb, СК = тс (рис. 20). Позначимо довжини сторін, які треба знайти, таким чином: ВС = а, АС = b, АВ = с. Продовжимо одну із медіан, наприклад AN, так, що ON = DN. Сполучимо точку D із точками В і С, одержимо паралелограм BOCD, у якого сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін, а саме: ВС2 + OD2 = 2(ОВ2 + ОС2) (1). Підставимо в формулу (1): ВС = а, OD = та, ОВ = тb, ОС = тс, одержимо:

.

Звідси знаходимо а: =.

Міркуючи аналогічно, одержимо формули для сторін b і с:

b = ; с = .

Відповідь. a = ; b = ; с = .


IV. Домашнє завдання

Розв'язати задачі.

  1. 1.   Дано паралелограм з діагоналями с і d і кутом α між ними. Знайдіть сторони паралелограма.
  2. 2.   Знайдіть медіани трикутника, сторони якого дорівнюють 5 м, 6 м і 7 м.

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

  1. 1.   Сформулюйте теорему про суму квадратів діагоналей паралелограма.
  2. 2.   Діагоналі паралелограма дорівнюють 2 см і 2 см, а кут між ними становить 30°. Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними.

а) Сторона паралелограма, що лежить проти кута в 30°, дорівнює 1 см.

б) Менша діагональ утворює з меншою стороною паралелограма кут у 120°.

в) Сума квадратів усіх сторін паралелограма становить 20 см2.

г) Більша сторона паралелограма дорівнює  см.




Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити