ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 9 класів

УРОК № 7

Тема. Теорема синусів

 

Мета уроку: вивчення теореми синусів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчену теорему до розв'язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють теорему синусів та доводять її.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашніх завдань за записами з пропусками.

Колективно обговорюється хід розв'язування задач і вписуються відповідні символи (записи). Там, де стоїть знак (?), необхідно пояснити, зробити посилання на відповідні теореми.

  1. 1)  Нехай АС = с, BD = d, AOB = α (рис. 21). Оскільки ABCD — паралелограм, то АО = ..., ВО = ... (?).

 

 

За теоремою косинусів:

АВ2 = АО2 + ВО2 – 2АО ∙ ВО ∙ cos AOB = ... + ... - ... .

BOC = 180° - α (?).

ВС2 = ВО2 + СО2 – 2ВО ∙ CO cos BOC = ... + ... - ... .

Відповідь. , .

  1. 2)  Нехай АВ = 5 м, ВС = 6 м, АС = 7 м (рис. 22). АВRC — паралелограм. (?)

AR2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) (?)         4АМ2 = - 36 + 2(25 + 49) (?)

АМ2 = ..., АМ = ....                         АРВС — паралелограм. (?)

K2 + АВ2 = 2(AC2 + BC2) (?)     СК2 = ..., СК = ....

ABCS — паралелограм. (?)            4BN2 + ... = 2 ∙ (... + ...).

ВМ2 = ..., ВМ = ....

Відповідь.  м, 2 м,  м.

 

 

Самостійна робота

Варіант  1

  1. 1.   У трикутнику один із кутів становить 60°, а сторони, прилеглі до нього, дорівнюють a і b. Знайдіть третю сторону трикутника. (4 бали)
  2. 2.   Сторони паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 120°. Знайдіть діагоналі паралелограма. (4 бали)
  3. 3.   Знайдіть діагоналі паралелограма, якщо вони відносяться як 3 : 5, а довжини сторін дорівнюють 8 см і 19 см. (4 бали)

Варіант  2

  1. 1.  У трикутнику дві сторони дорівнюють a і b, а кут між ними становить 120°. Знайдіть третю сторону трикутника. (4 бали)
  2. 2. Діагоналі паралелограма дорівнюють 32 см і 10 см, а кут між ними становить 60°. Знайдіть сторони паралелограма. (4 бали)
  3. 3. Сторони паралелограма відносяться як 1 : 2. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 18 см і 26 см. (4 бали)

Відповіді до завдань самостійної роботи

Варіант 1. 1. a2 + b2 ab.

2. 38 см і 2см. 3. 15 см і 25 см.

Варіант 2. 1. a2 + b2 + ab.

2. 19 см і  см. 3. 10 см і 20 см.

 

II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Вивчення теореми синусів

Наводимо пояснення теореми синусів.

Розглянемо прямокутний трикутник ABC (рис. 23).

 

Відомо, що а = c sinA, b = c sinB, звідси , . Тоді . Ураховуючи, що C = 90° і sinC = 1, запишемо: .

Якщо описати коло радіуса R навколо прямокутного трикутника ABC (рис. 24), то одержимо: .

 

 

Отже, у прямокутному трикутнику сторони пропорційні до синусів протилежних кутів.

А чи є це твердження правильним для будь-якого трикутника?

Спочатку з'ясуємо співвідношення між діаметром кола, стороною вписаного в нього трикутника і кутом трикутника, протилежним цій стороні.

Нехай у трикутнику ABC кут А гострий, ВС = а (рис. 25). Проведемо діаметр BD, який дорівнює 2R, R — радіус описаного кола.

 

 

Сполучивши точки D і С, одержимо прямокутний трикутник BDC, у якому ВС є катетом, і тому BC = BD sinD. Але D = А як вписані, що опираються на дугу ВС, і тому sinD = sinA.

Отже, a = 2R sinA.

Одержане співвідношення справджується й тоді, коли кут А тупий (рис. 26), оскільки A + D = 180°. Тоді D = 180° - A і sinD = sin(180°- А). Таким чином, а = ВС = BD sinD = 2R sinD = 2R sinA.

Отже, завжди a = 2R sinA.

 

 

Аналогічно переконуємося, що b = 2R sinB, c = 2R sinC. У кожній із трьох останніх рівностей виразимо відношення сторони до синуса протилежного кута:

; ; .

Отже, .

Таким чином, сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів, відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника.

 

Розв'язування задач

  1. 1.   Сторона трикутника дорівнює 20 см, а протилежний кут становить 150°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника. (Відповідь. 20 см)
  2. 2.   Знайдіть сторону АВ трикутника ABC, якщо ВС = 2см, A = 45°, C = 30°. (Відповідь. 2 см)

 

III. Закріплення й осмислення вивченого матеріалу

Колективне розв'язування задачі

1)  У трикутнику ABC АВ = 15 см, АС = 10 см. Чи може sinβ = ?

Розв'язання

Припустимо, що sinβ = . Тоді з рівності , враховуючи, що   АВ = 15 см, АС = 10 см, матимемо: . Звідси sinγ = 15 ∙  ∙  =  > 1, що неможливо (бо sinγ < 1).

Отже, sinβ не може дорівнювати .

Відповідь. Не може дорівнювати.

2)  У трикутнику задано дві сторони а = 27, b = 9 і кут, протилежний до однієї із сторін, α = 138°. Знайдіть два інші кути і третю сторону трикутника.

Розв'язання

; ; ;       β 13°. Тоді γ = 180° - α - β  180° - 138° - 13° = 29°.

; ; .

Відповідь. β  13°, γ  29°, с  19,6.

 

Задачі для індивідуального розв'язування

  1. 1)  У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює а, а кут при основі дорівнює 2β. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену до бічної сторони.

Відповідь. .

  1. 2)  У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює с, а один із гострих кутів дорівнює α. Знайдіть бісектрису прямого кута.

Відповідь. .

  1. 3)  Доведіть, що сторона трикутника, яка лежить проти кута в 30°, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника.
  2. 4)  Доведіть, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, що обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

Доведення

Нехай у трикутнику ABC (рис. 27) BD — бісектриса і ABD = DBC = x.

 

 

Із трикутника ABD за теоремою синусів маємо: . (1)

Із трикутника BDC за теоремою синусів маємо: . (2)

Розділивши рівність (1) на рівність (2), одержимо , що й треба було довести.

 

IV. Домашнє завдання

  1. 1.   Вивчити теорему синусів.
  2. 2.   Розв'язати задачу.

У трикутнику дано дві сторони і кут, протилежний до однієї із сторін. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника, якщо:

а) а = 12, b = 5, α = 120°;   

б) а = 34, b = 12, α = 164°.

 

V. Підбиття підсумків уроку

Завдання до класу

  1. 1.   Сформулюйте теорему синусів.
  2. 2.   У трикутнику ABC (рис. 28) сторони дорівнюють a, b, c, a кути дорівнюють α, β, γ. Навколо цього трикутника описане коло радіуса R. Які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними?

a) b = 2R sinα;    

б) ;    

в) ;  

г) .

 


Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити