АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§16. РІВНЯННЯ, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІННУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

4. Рівняння, що містять декілька модулів.

 

Рівняння виду та інші містять два і більше виразів зі змінними, що стоять під знаком модуля. Такі рівняння доцільно розв’язувати за наступною схемою:

1) Знаходимо ОДЗ рівняння.

2) Знаходимо значення змінної, при яких дорівнює нулю хоча б один із виразів, що стоїть під знаком модуля (їх називають нулі під модульних виразів).

3) Розглянемо нулі підмодульних виразів на ОДЗ і розбиваємо ОДЗ на проміжки.

4) Знаходимо розв’язок рівняння - наслідку на кожному з проміжків і перевіряємо, чи входить цей розв’язок у розглядуваний проміжок.

5) Даємо відповідь

 

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

1) ОДЗ: х R.

2) х — 1 = 0; х = 1; Зх - 12 = 0, х = 4. Отже, х = 1 і х = 4 — нулі підмодульних виразів.

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки (-∞;1], (1;4], (4;+∞) (мал. 33).

 

 

4) Якщо х (-∞;1], тобто х ≤ 1, то х - 1≤ 0 і |х -1| = -(х - 1); Зх - 12 < 0 і |3х-12| = -(Зх - 12). Маємо -(х - 1) - (3х - 12)= 7; х = 1,5. Число 1,5 в розглядуваний проміжок (-∞;1], а тому не є коренем рівняння.

Якщо х (1;4], тобто Маємо х -1 - (Зх - 12) = 7; х = 2.

Число 2 входить у розглядуваний проміжок (1;4], тому є коренем початкового рівняння.

Якщо х (4;+∞), тобто Маємо х - 1 + 3х - 12 = 7; х = 5. Число 5 входить у розглядуваний проміжок (4;+∞), тому є коренями початкового рівняння.

5) Отже, х₁ = 2; х₂ = 5 - корені початкового рівняння.