АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§17. НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІНУ МОДУЛЯ

3. Загальний підхід до розв’язання нерівностей, що містять знак модуля.

При розв’язані більш складних нерівностей, що містять знак модуля, можна застосувати той самий підхід, що й при розв’язуванні рівнянь, які містять кілька знаків модулів.

Оформляти розв’язування на кожному з утворених проміжків доцільно у вигляді системи нерівностей, одна з яких — умова, накладена на х, а інша нерівність — наслідок, яку отримали після розкриття модулів. Відповідно початковій нерівності є об’єднання відповідей, отриманих на кожному з розглянутих проміжків.

Приклад. Розв’яжіть нерівність

Розв’язання: 1) ОДЗ: х R.

2) х + 1 = 0, коли х = -1; 2х - 4 = 0, коли х = 2. Отже, х₁ = -1; х₂ = 2 - нулі підмодульних виразів (мал. 36).

3) Позначимо нулі підмодульних виразів на числовій прямій «жирними» точками (оскільки вони входять в ОДЗ) і маємо три проміжки

4) Якщо х (-∞;-1], тобто х ≤ -1, маємо Отже, на проміжку (-∞;-1] маємо систему

Якщо х (-1;2], тобто -1 < х ≤ 2, маємо Отже, на проміжку (-1;2] маємо систему

Якщо х (2;+∞), тобто х > 2, маємо Отже, на проміжку (2;+∞) маємо систему

5) Об’єднуючи відповіді, отримані на кожному з розглянутих проміжків, маємо Отже,