АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§18. ІРРАЦІОНАЛЬНІ РІВНЯННЯ.

4. Розв’язання ірраціональних рівнянь, що містять кілька квадратних коренів.

 

Розв’язання рівняння виду де а - число, та подібні доцільно починати з ОДЗ рівняння. Далі можна скористатись одним із двох наступних способів розв’язання.

І спосіб. Забезпечуємо невід’ємність лівої і правої частини рівняння (якщо необхідно, то для цього переносимо доданки з однієї частини рівняння в іншу). Підносимо ліву і праву частини отриманого рівняння до квадрата. Оскільки вони невід’ємні, то таке перетворення рівняння є рівносильним. Після спрощень дістаємо один із раніше розглянутих типів рівнянь.

Приклад. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою з якої дістаємо х ≥ 2.

Перенесемо радикал у праву частину рівняння: Ліва і права частини отриманого рівняння - невід’ємні. Піднесемо до квадрата ліву і праву частини рівняння:

Оскільки х = 3 належить ОДЗ початкового рівняння, то є його єдиним коренем.

Відповідь: х = 3.

II спосіб полягає в тому, що після знаходження ОДЗ рівняння ліву і праву його частини підносять до квадрата, не вимагаючи їх невід’ємності. Але такий спосіб може привести до появи сторонніх коренів. Тому можна запропонувати два підходи. Перший полягає в тому, що отримані корені треба перевірити, підставивши у початкове рівняння. Але якщо отримані корені - ірраціональні числа, така перевірка є досить громіздкою. Другий підхід полягає у тому, щоб перейти до системи, рівносильної даному рівнянню. Таку систему можна отримати, якщо доповнити рівняння, в якому записані ліва і права частини, піднесені до квадрата, нерівністю, що забезпечує однаковий знак лівої і правої частин.

Приклад. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою тобто х ≥ -3.

Ліва і права частини заданого рівняння невід’ємні, тому їх можна підносити до квадрат, але це призводить до громіздких обчислень (перевірте це самостійно). Тому раціональніше один з коренів (наприклад, ) перенести у праву частину. Маємо Піднесемо ліву і праву частини рівняння до квадрата. Оскільки права частина останнього рівняння може бути як додатною, так і від’ємною, то таке перетворення не є рівносильним, тому отриманий корінь слід перевірити.

Перевірка: Отже, х = 1 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь. х = 1.

Приклад. Розв’язати рівняння:

Розв’язання. ОДЗ рівняння задається системою

з якої дістаємо

Піднесення невід’ємних лівої і правої частин заданого рівняння призводить до громіздких обчислень. Краще радикал перенести у праву частину: Отримане рівняння можна розв’язати тим самим способом, що й попереднє, а можна підійти до розв’язування інакше. Ліва частина отриманого рівняння - невід’ємна, тому невід’ємною має бути і права частина. Отже, рівняння рівносильне системі:

Перше рівняння має корені Але лише другий задовольняє як умову х ≥ -3, так і ОДЗ. Оскільки всі перетворення рівняння є рівносильними, то перевірка не є обов’язковою. Отже, х = -1/2 - єдиний корінь рівняння.

Відповідь, х = -1/2.