МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§20. ІРРАЦІОНАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ.

 

Нерівність називають ірраціональною, якщо вона містить невідомі під знаком кореня.

Розглянемо деякі види ірраціональних нерівностей та методи їх розв’язування.

 

1. Найпростіші ірраціональні нерівності.

 

До найпростіших ірраціональних нерівностей віднесемо наступні: де а - деяке число.

Якщо n - непарне число, то при піднесенні до степеня n лівої та правої частини нерівності, отримаємо нерівність рівносильну даній.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) Піднесемо до п’ятого степеня обидві частити нерівності. Маємо

2) Піднесемо до третього степеня обидві частити нерівності. Маємо

Якщо n - парне число, то при піднесенні до степеня n отримаємо (на ОДЗ даної нерівності) нерівність, рівносильну даній лише за умови а 0. Отже, при розв’язуванні найпростіших ірраціональних нерівностей при парному n треба звертати увагу на число а (на ОДЗ нерівності).

Приклад 2. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання. 1) ОДЗ даної нерівності х 0. На ОДЗ піднесемо до четвертого степеня невід’ємні ліву та праву частини даної нерівності, маємо х 16. Всі значення х, які задовольняють умову х 16, задовольняють і ОДЗ.

2) ОДЗ даної нерівності х 0, після піднесення до шостого степеня невід’ємні лівої та правої частин даної нерівності, матимемо х < 1. Отже, остаточно розв’язками нерівності є такі числа х, що 0 х < 1.

3) Оскільки 0, для всіх х, що задовольняють ОДЗ нерівності, то розв’язками нерівності -1 будуть всі значення х з ОДЗ, тобто х 0.

4) Оскільки 0 для всіх х, що задовольняють ОДЗ нерівності, то нерівність < -2 не має розв’язків.

Аналогічно розв’язуються нерівності, якщо замість х є деякий вираз f(х).

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність - 1 3.

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна такій подвійній 0 х - 1 < З4 (нерівність х - 1 0 є ОДЗ даної нерівності, а х - 1 З4 отримали після піднесення початкової нерівності до четвертого степеня). Маємо 0 х 1 81; 1 х 82.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити