МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§25. НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ НЕРІВНОСТІ.

 

Нерівності, що містять невідомі під знаками тригонометричних функцій, називають тригонометричними нерівностями.

Прикладами тригонометричних нерівностей є нерівності

тощо.

До найпростіших будемо відносити нерівності виду та інші, у яких на місці знака > стоїть один із знаків , < або . Загальні формули для розв’язування цих нерівностей є досить громіздкими. Тому розглянемо методи розв’язування цих нерівностей на прикладах. Для наочності будемо використовувати одиничне коло, лінії тангенса і котангенса.

Приклад 1. Розв’язати нерівність

Розв’язання. sin t - це ордината точки одиничного кола, що відповідає куту t. Спочатку позначимо на одиничному колі всі точки, ординати яких більші за /2; ці точки знаходяться вище прямої у = /2 (мал. 39). Множина всіх таких точок — дуга l. Якщо рухатися по цій дузі проти руху годинникової стрілки, то початкова точка дуги l відповідає куту аrсsin /2 = π/4, а кінцева — Кути, що відповідають цим точкам, входять у відповідь (оскільки знак нерівності ), а тому на малюнку точки позначені жирно. Таким чином, нерівність sin t /2 задовольняють всі значення t такі, що Оскільки синус є функцією періодичною з найменшим додатним періодом 2π, то множину всіх розв’язків нерівності отримаємо, додавши до чисел π/4 і 3π/4 числа виду 2πk, k Z. Отже, маємо:

Відповідь можна подати і так:

 

 

Приклад 2. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Позначимо 2х = t, маємо нерівність sіn t < -1/2. Позначимо на одиничному колі всі точки, ординати яких менші за -1/2, це точки дуги l, які розташовані нижче прямої у = -1/2 (мал. 40). Кінці цієї дуги — точки, ординати яких дорівнюють -1/2; кути, що відповідають цим точкам, не входять у відповідь, оскільки знак нерівності “<“. Тому точки на малюнку «виколоті». Якщо рухатися по дузі l проти годинникової стрілки, то початкова

точка дуги l відповідає куту a кінцева – куту

Враховуючи періодичність, маємо:

Повертаємося до змінної х:

Розділимо всі три частини подвійної нерівності на 2. Маємо:

Приклад 3. Розв’язати нерівність

Розв’язання. cos t — це абсциса точки одиничного кола, що відповідає куту t. Позначимо на одиничному колі всі точки, абсциси яких менші за /2, ці точки розташовані лівіше прямої х = /2 (мал. 41), утворюють дугу l. Кути, що відповідають крайнім точкам дуги, входять у відповідь (оскільки знак нерівності ), тому точки на малюнку позначені жирно. При русі проти годинникової стрілки початкова точка дуги l відповідає куту arccos /2 = π/6, а кінцева — куту

Враховуючи періодичність косинуса, отримаємо розв’язки нерівності:

 

 

Приклад 4. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Позначимо х + π/3 = t, маємо cos t > 1/2. На малюнку 42 виділено відповідну дугу l, її кінцева точка відповідає куту arccos 1/2 = π/3, a початкова — куту arccos 1/2 = = -π/3. Маємо:

Повертаємося до змінної х:

Віднімемо від трьох частин подвійної нерівності π/3. Маємо:

 

 

Для ілюстрації розв’язків нерівностей, у яких в лівій частині знаходиться tg t, а в правій — число, ознайомимося з лінією тангенсів.

Розглянемо пряму l, яка є дотичною до одиничного кола і проходить через точку (1;0) (мал. 43). Нехай при повороті на кут α початковий радіус ОР0 переходить у радіус ОРα. Нехай пряма ОРα перетинає пряму l у точці Dα. Тоді ордината точки Dα дорівнює тангенсу α.

 

 

Приклад 5. Розв’язати нерівність tg t .

Розв’язання. Період функції тангенс дорівнює π,тому спочатку знайдемо розв’язки нерівності на проміжку (-π/2;π/2), а потім використаємо періодичність.

Проведемо лінію тангенсів, tg t - це ордината точки лінії тангенсів, що відповідає куту t. Позначимо на лінії тангенсів точку, ордината якої дорівнює — точку А (мал. 44). Ця точка відповідає куту а точки лінії тангенсів, у яких ординати менші за , відповідають кутам від -π/2 до π/3. Зауважимо, що кут π/3 буде входити у відповідь (оскільки знак нерівності ), а кут -π/2 - не буде, оскільки tg (-π/2) — не існує. Отже на проміжку (-π/2;π/2) нерівність tg t має розв’язки Враховуючи періодичність, маємо:

 

 

Приклад 6. Розв’язати нерівність tg t .

Розв’язання. Використовуючи малюнок 44 та періодичність, маємо:

Пряму m, яка проходить через точку (0;1) перпендикулярно до осі ординат, називають лінією котангенсів (мал. 45). Абсциса точки Сα перетину прямої ОРα з лінією котангенсів дорівнює котангенсу α.

 

 

Приклад 7. Розв’язати нерівність ctg t > -1/.

Розв’язання (мал. 46). Використовуючи лінію котангенсів, отримаємо розв’язок нерівності на проміжку

Далі використаємо періодичність:

 






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Всі матеріали на сайті доступні за ліцензією Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported CC BY-SA 3.0 та GNU Free Documentation License (GFDL)

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посиланням на сайт, будьте вдячними ми приклали багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2007-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.