АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§27. ПОКАЗНИКОВІ НЕРІВНОСТІ.

1. Нерівності виду a^x ≥ b, a^x > b, a^x ≤ b, a^x < b, де a > 0, a ≠ 1.

 

Оскільки а^x > 0 для всіх значень х при а > 0, а ≠ 1, то у випадку b ≤ 0 множиною розв’язків нерівностей а^х ≥ b, а^х > b є множина R, а нерівності а^х ≤ b, а^х < b не будуть мати розв’язків.

Приклад 1. Розв’яжіть нерівності: 1) 2^x ≥ -5; 2) 3^x < -1.

Розв’язання.

2) 3^x < -1, нерівність не має розв’язків.

Розглянемо нерівність а^х ≥ b при а > 0, а ≠ 1, b > 0. Схему розв’язання цієї нерівності подамо у вигляді таблиці.

 

ах ≥ b; а > 0, а ≠ 1, b > 0
0 < а < 1	а > 1
Знак нерівності змінюється на протилежний х ≤ loga b	Знак нерівності не змінюється х ≥ loga b

 

Зауважимо, що нерівності розв’язуються аналогічними методами. Якщо и = а^с, де с - деяке число, то відповідно матимемо:

для

для

Приклад 2. Розв’яжіть нерівності:

Розв’язання.

Аналогічно розв’язуються нерівності у випадку, коли замість x маємо f(x).

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність:

Розв’язання.

(мал. 47).