Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ II. РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§31. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ, НЕРІВНОСТЕЙ ТА СИСТЕМ З ПАРАМЕТРАМИ.

2. Розв’язування нерівностей з параметрами.


Приклад 1. Розв’яжіть нерівність: ах ≤ 2.

Розв’язання. При розв’язуванні нерівності слід розглянути випадки а < 0, а = 0, а > 0.

1) а < 0. Поділимо ліву і праву частини нерівності на число а. Оскільки а < 0, то при діленні на від’ємне число знак нерівності змінюється на протилежний. Маємо x ≥ 2/a.

2) а = 0. Маємо 0 ∙ х ≤ 2, х — будь-яке число.

3) а > 0. Поділимо ліву і праву частини нерівності на число а. Оскільки а > 0, то приділенні на додатне число знак нерівності не змінюється. Маємо x ≤ 2/a.

Відповідь. Якщо а < 0, то х ≥ 2/a; якщо а = 0, то х — будь-яке число; якщо а > 0, то х ≤ 2/a.

Приклад 2. Для всіх значень параметра а (а > 0, а ≠ 1) розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Розглянемо два випадки: 1) а > 1; 2) 0 < а < 1.

1) а > 1. Логарифмуємо обидві частини нерівності за основою а. Оскільки а > 1, то залишаємо знак нерівності без змін:

Заміна log а х = t. Маємо t2 + Зt - 4 ≥ 0. Звідки t ≤ -4 або t ≥ 1 (мал. 52). loga x ≤ -4 або logax ≥ 1. Оскільки а > 1, то маємо 0 < х ≤ а-4 або х ≥ а.



2) 0 < а < 1. Логарифмуємо обидві частини нерівності за основою а. Оскільки 0 < а < 1, то змінюємо знак на протилежний:

Заміна lоga х = t. Маємо t2 + 3t - 4 ≤ 0. Звідки -4 ≤ t ≤ 1 (мал. 53). Тому -4 ≤ loga х ≤ 1. Враховуючи ще раз, що 0 < а < 1, матимемо 0 < х ≤ а-4 ; а ≤ х ≤ 1/а4.



Відповідь. Якщо 0 < а < 1, то а ≤ х ≤ 1/а4 ; якщо а > 1, то 0 ≤ х ≤ а-4 або х ≥ а.






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити