Будь-який член арифметичної прогресії (а_n) можна знайти за формулою

а_n = a₁ + d(n - 1)

Маємо формулу n-го члена арифметичної прогресії.

Приклад 1. Послідовність (а_n) - арифметична прогресія, а₁ = 18; d = -1,5. Знайдіть п’ятнадцятий член цієї послідовності.

Розв’язання. а₁₅ = а₁ + d(15 - 1) = а₁ + 14d = 18 + 14 ∙ (-1,5) = -3

Приклад 2. Чи містить арифметична прогресія 5; 8; 11 ... число: 1) 80; 2) 100?

Розв’язання. У прогресії а₁ = 5; а₂ = 8; d = а₂ – а₁ = 8 - 5 = 3. Запишемо формулу n-го члена цієї прогресії: а_n = 5 + 3(n - 1), тобто а_n = 3n + 2.

1) Число 80 є членом прогресії (а_n), якщо існує натуральне число n, при якому значення виразу 3n + 2 дорівнює 80. Маємо рівняння 3n + 2 = 80; 3n = 78; n = 26. Отже, число 80 є двадцять шостим членом арифметичної прогресії: а₂₆ = 80.

2) Міркуючи аналогічно, маємо 3n + 2 = 100; 3n = 98; n = 32 ∙ 2/3. Число 32 ∙ 2/3 не є натуральним. Тому арифметична прогресія не містить число 100.

Приклад 3. Кубики покладено у ряди так, що у верхньому ряду 3 кубика, в кожному нижньому - на одну й ту саму кількість кубиків більше, ніж у попередньому. У шостому ряду 13 кубиків. Скільки кубиків у третьому ряді?

Розв’язання. Оскільки в кожному нижньому ряду на одну й ту саму кількість кубиків більше, ніж у попередньому, то числі, що виражають кількість кубиків по рядах, складають арифметичну прогресію.

Маємо а₁ = 3; а₆ = 13. Знайдемо спочатку d цієї прогресії, а потім третій член прогресії а₃. Отже, а₆ = а₁ + d(6 - 1); а₆ = а₁ + 5d. Тоді

13 = 3 + 5d,