Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ
Розділ III. ФУНКЦІЯ
§14. АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ.
4. Сума n перших членів арифметичної прогресії.
Позначимо через Sn суму перших n членів арифметичної прогресії:
Цю суму можна знайти за формулою
Якщо у дану формулу замість а n підставити вираз а 1 + d(n - 1), то дістанемо ще одну формулу для обчислення
Цією формулою зручно користуватись, якщо відомий перший член і різниця прогресії.
Приклад 1. Знайдіть суму перших дванадцяти членів послідовності (а n), заданої формулою а n = -3n + 5.
Розв’язання. Дана послідовність є арифметичною прогресією, бо її задано формулою а n = dn + b, де d = -3, b = 5 (див. властивість 5 попереднього пункту цього параграфа). Маємо а 1 = -3 ∙ 1 + 5 = 2, а12 = -3 ∙ 12 + 5 = -31. Знайдемо S І2 за формулою
Приклад 2. Знайдіть суму тридцяти перших членів арифметичної прогресії (а n), якщо а3 = 5; а7 = -3.
Розв’язання. Оскільки а3 = а 1 + 2d, то маємо 5 = а 1 + 2d.
Аналогічно а7 = а 1 + 6d; -3 = а 1+ 6d. Отримали систему рівнянь
Тоді а 1= 5 + 4 ; а 1 = 9. Знайдемо суму S 30 за формулою
Приклад 3. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, кратних 8, які не більше за 300.
Розв’язання. Натуральні числа, кратні 8, утворюють арифметичну прогресію: 8; 16; 24; 32; 40 ... Цю прогресію можна задати формулою а n = 8n. Знайдемо кількість членів цієї прогресії, виходячи з умови ап ≤ 300. Маємо
Sn ≤ 300,
n = 37,5.
Отже, кількість членів прогресії, суму яких треба знайти, дорівнює 37. Маємо а 1 = 8; а37 = 8 ∙ 37 = 296. Тоді:
