Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ III. ФУНКЦІЯ

§19. ЗНАХОДЖЕННЯ ПРОМІЖКІВ МОНОТОННОСТІ ТА ЕКСТРЕМУМІВ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНОЇ.

1. Достатня умова зростання (спадання) функції на проміжку. Знаходження проміжків монотонності функції.

 

Проміжки на яких функція зростає чи спадає ще називають проміжками монотонності.

Достатня умова зростання (спадання) функції. Якщо f '(x) > 0 в кожній точці проміжку (а;b), то функція у = f(x) зростає на (а;b), якщо f '(x) < 0 в кожній точці проміжку (а;b), то функція у = f(x) спадає на (а;b).

Важливим є також поняття критичної точки. Критичними точками функції називають внутрішні точки області визначення, в яких похідна не існує або дорівнює нулю.

Для дослідження функції у = f(x) на зростання, спадання, доцільно використовувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції f '(x).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f ‘(x) не існує та розв’язки рівняння f ‘(x) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f (х) та знаходимо знак похідної f '(x) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку).

5) Робимо висновок (відповідь).

Зауважимо, що якщо функція у = f (х) неперервна в якому-небудь кінці проміжку зростання чи спадання, то цю точку можна приєднувати до розглядуваного проміжку.

На схемах будемо використовувати знак для позначення зростання на проміжку і знак для позначення спадання функції на проміжку.

Приклад 1. Знайдіть проміжки монотонності функції

Розв’язання.

3) Похідна існує в усіх точках області визначення f '(x) = 0, тоді - критичні точки.

4) Визначимо знак похідної в кожному з отриманих інтервалів (-;-3], [-3;0), (0;3], [3;+).

(мал. 97).

 

 

5) Функція зростає на проміжках (-;-3] і [3;+), спадає на проміжках [- 3;0), (0;3].

Приклад 2. Знайдіть проміжки зростання і проміжки спадання функції f(x) = х ln х.

Розв’язання. 1) D(f) = (0;+).

3) Похідна існує в усіх точках області визначення — критична точка;

(мал. 98).

5) Функція спадає на проміжку (0;1/e] зростає на проміжку [1/e;+).

 

 

Приклад 3. Скільки розв’язків має рівняння х5 + х + 1 = 0?

Розв’язання. Розглянемо функцію Оскільки для всіх значень х, то функція f(x) зростає при всіх значеннях х. Оскільки f(-1) = -1 - 1 + 1 = -1, а f(0) = 1, то на проміжку (—1;0) є корінь рівняння x5 + х + 1 = 0 (див. ілюстрацію на проміжку 99). Оскільки функція f(x) = х5 + х + 1 - зростає на (-;+), то більше рівняння х5 + х+ + 1 = 0 коренів немає.

Отже, рівняння х5 + х + 1 = 0 має єдиний розв’язок.

 









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.