АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ III. ФУНКЦІЯ

§20. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВИ ЇХНІХ ГРАФІКІВ.

 

Можна запропонувати наступну схему дослідження функції у = f(х) та побудови ЇЇ графіка:

1) Знаходимо область визначення функції у = f(x).

2) Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для тригонометричних функцій).

3) Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх можна знайти).

4) Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки.

5) Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій.

6) Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо можна дослідити).

7) Використовуючи отримані результати, будуємо графік функцій або його ескіз.

Приклад 1. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1) Область визначення: D(f) = R.

функція парна, її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Точка перетину з віссю Оу:

Точки перетину з віссю Оу: (розв’яжіть рівняння самостійно).

Отже, маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).

критичні точки х₁ = 0; х₂= 1; х₃ = -1.

5) Складаємо таблицю у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні точки:

 

x	(-∞;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	-	0	+	0	-	0	+
f(x)		-4,5		-4		-4,5
Висновок	Функція спадає	min	Функція зростає	mах	Функція спадає	mіn	Функція зростає

 

В таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму чи точками мінімуму).

6) Оскільки D(f) = R, то немає кінців області визначення.

7) Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження - малюнок 105.

 

 

Побудова графіка функцій (або його ескізу) допомагає при розв’язуванні деяких задач, пов’язаних із знаходженням коренів рівняння (їхньої кількості, найближчих значень тощо).

Приклад 2. 1) Дослідіть функцію f(х) = (х - 3) та побудуйте ескіз її графіка. 2) Скільки коренів має рівняння (х - 3) = а залежно від значення параметра а?

Розв’язання завдання 1.

1) D(f) = [0;+∞).

2) Функція ні парна, ні непарна, оскільки її область визначення не симетрична відносно нуля.

3) Точка перетину з віссю Оу: х = 0; у = 0. Точки перетину з віссю Ох: у = 0; (х – 3) = 0 ; х₁ = 3; х₂ = 0.

х = 1 - критична точка.

5) Складаємо таблицю:

 

X	0	(0;1)	1	(1;+∞)
f ‘(х)	не існує	-	+	+
f(x)	0		-2
Висновок	Точка належить графіку	Функція спадає	mіn	Функція зростає

 

6) Точка (0;0) належить графіку функції.

7) Ескіз графіка показано на малюнку 106.

 

 

Розв’язування завдання 2. Будемо розв’язувати рівняння (х - 3) = а графічно. Для цього будуємо графіки функцій f(х) = (х - 3) та у = а, а - число (мал. 106а). Для різних значень а кількість коренів рівняння буде різною.

Якщо а = -2, то графіки перетинаються в одній точці, а тому розглядуване рівняння має один корінь. Якщо -2 < а ≤ 0, то графіки перетинаються в двох точках, а тому розглядуване рівняння має два кореня. Якщо ж а > 0, то графіки перетинаються в одній точці, і рівняння має один корінь.

Остаточно маємо: якщо а = -2 або а > 0, то рівняння має один корінь, якщо -2 < а ≤ 0, то рівняння має два корені.