МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ III. ФУНКЦІЯ

§21. ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО І НАЙМЕНШОГО ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ВІДРІЗКУ. ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ НА ЗНАХОДЖЕННЯ НАЙБІЛЬШОГО І НАЙМЕНШОГО ЗНАЧЕНЬ.

2. Прикладні задачі на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини.

 

При розв’язуванні прикладних задач на знаходження найбільшого або (і) найменшого значення деякої величини можна використовувати наступну схему:

1) Одну з величин позначаємо за х та за змістом задачі накладаємо обмеження на х.

2) Величину найбільше або (і) найменше значення якої потрібно знайти виражаємо через х;

3) Знаходимо найбільше або (і) найменше значення отриманої функції при накладених обмеженнях на х;

4) Виясняємо який практичний зміст має отриманий результат.

Зауважимо, що при розв’язуванні деяких практичних задач необхідно знайти найбільше або (і) найменше значення неперервної функції не на проміжку [а;b], а на інтервалі (а;b). Як правило, в таких випадках на інтервалі (а;b) функція має лише одну критичну точку. Якщо ця точка максимуму, то саме в цій точці на інтервалі (а;b) функція має найбільше значення (мал. 107), а якщо це точка мінімуму, то найменше (мал. 108).

 

 

Приклад 1. Парканом, довжина якого 120 м, треба огородити город найбільшої площі (мал. 109). Знайдіть розміри городу.

Розв’язання.

1) Позначимо через х м одну з двох паралельних сторін паркану (мал. 110), тоді інша сторона буде дорівнювати 120 - 2х (м), де 0 < х < 60.

2) Площа городу: S(x) = х(120 - 2х).

S(x) = 120х – 2x2.

3) Знайдемо найбільше значення функції:

S(x) = 120х - 2х2 при умові х (0;60).

S'(x)= 120 2 2x = 120 4x; S'(x) = 0, коли х = 30. Маємо хmах = 30 (мал. 111).

 

 

4) Оскільки S(x) = 120 - 2х2 неперервна на (0;60) і має точку максимуму хmах = 30, то саме в цій точці S(x) досягає найбільшого значення. Отже, розмір городу 30 м і

120 – 2 30 = 60 (м).

Приклад 2. Необхідно виготовити відкритий резервуар циліндричної форми, об’єм якого дорівнює 64π дм3. При яких розмірах резервуару (радіуса основи та висоті) на його виготовлення витрачається найменша кількість металу?

Розв’язання.

1) Розглянемо через r (дм) — радіус основи резервуара. Оскільки об’єм циліндра V = πr2h, де h - висота, то маємо

2) На виготовлення резервуару витрачається така кількість металу πr2 - площа основи резервуара, 2πrh - площа бічної поверхні. Оскільки то маємо

3) Знайдемо найменше значення функції при умові r > 0.

коли r = 4. Маємо rmin = 4 (мал. 112).

 

 

4) Оскільки неперервна для r > 0 і має точку мінімуму rmin = 4, то саме в цій точці і у(r), а тому і S(r) досягає найменшого значення. Отже, радіус основи циліндра дорівнює 4 дм, його висота






Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.