АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ

Розділ IV. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ СТАТИСТИКИ

§1. ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ.

3. Розміщення.

 

Нехай дано множину X з n елементів х₁,х₂,х_n-1,х_n.

Розміщенням з n елементів по m (m < n) називають будь-яку впорядковану підмножину У множини X, причому дві такі підмножини вважають різними, якщо вони відрізняються складом або порядком елементів.

Приклад 1. Нехай дано множину Х = {1;2;3}. Тоді по одному можна скласти такі розміщення:

(1), (2), (3) - їх буде 3;

по два можна скласти такі розміщення:

(1;2), (1;3), (2;1), (2;3), (3;1), (3;2) - їх буде 6;

по три можна скласти такі розміщення:

(1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1) - їх буде 6.

Кількість розміщень з n елементів по m позначають А^m_n. Можна записати

Формула для обчислення:

Цю формулу можна запам’ятати за допомогою такого правила:

А^m_n є добутком т натуральних чисел, починаючи з n, взятих у порядку спадання.

Наприклад, А⁴₇ = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840.

А^m_n можна обчислювати ще й за такою формулою:

Приклад 2. Розклад на день містить 6 уроків. Визначити кількість всіх можливих розкладів при виборі з 9 предметів, при умові, що жоден предмет не стоїть у розкладі двічі.

Розв’язання. Зрозуміло, що таких розкладів буде

А⁶₉ = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 60480.

Приклад 3. Скільки різних правильних дробів можна скласти з чисел 1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19, які використовують для запису чисельника і знаменника дробу?

Розв’язання. Дробів, у яких чисельник не дорівнює знаменнику можна скласти А²₈ штук, але лише половина з них правильні. Отже, шукана кількість дробів