ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§9. МЕДІАНА, БІСЕКТРИСА, ВИСОТА ТРИКУТНИКА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ.

1. Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називають відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

На малюнку 206 відрізок АМ₁ — медіані трикутника АВС. Точку М₁ називають основою медіани. Будь-який трикутник має три медіани. На малюнку 208 відрізки АМ₁, ВМ₂ і СМ₃ — медіани трикутника АВС.

Властивість медіан трикутника:

у будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (вона називається центроїдом трикутника) і в цій точці поділяються у відношенні 2:1, починаючи від вершини.

На малюнку 207 точка М — центроїд трикутника.

Тоді

Довжину медіани трикутника m_а проведену до сторони а, можна знайти за формулою:

де b і с — сторони трикутника, між якими проходить медіана.

Приклад. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, а медіана, що проведена до бічної сторони — 5 см. Знайдіть довжини бічних сторін.

Розв’язання. За умовою основа а = 4 см, m_а = 5 см. Позначимо бічні сторони b = с = х.

Тоді маємо: х = 6 (враховуючи х > 0 ). Отже, довжина бічної сторони 6 см.