Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ
§14. КОЛО, ОПИСАНЕ НАВКОЛО ТРИКУТНИКА. КОЛО, ВПИСАНЕ В ТРИКУТНИК.
2. Коло, вписане у трикутник.
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.
При цьому трикутник називають описаним навколо кола.
На малюнку 222 коло вписане у трикутник АВС.
Центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника.
На малюнку 222 центр кола, вписаного у трикутник АВС, є точка І - точка перетину бісектрис трикутника (або бісектрис кутів трикутника).
Формули для знаходження радіуса вписаного кола будуть розглянуті в одному з наступних параграфів.
Приклад. Медіана рівнобедреного трикутника, що проведена до основи дорівнює 12 см, бічна сторона відноситься до основи, як 3:2. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник.
Розв’язання. 1) Нехай у ∆АВС (АВ = ВС) вписане коло; ВК = 12 см - медіана трикутника. Тоді ВК є також висотою і бісектрисою. Оскільки центр вписаного кола - точка І є точкою перетину бісектрис трикутника, то І
ВК.
2) Оскільки АВ : АС = 3 : 3, позначимо АВ = 3х, АС = 2х. К - середина АС, тому АК = AC/2 = 2x/2 = х.
3) АІ - бісектриса трикутника АВС. За властивістю бісектриси: AB/AK = BI/IK.
4) Позначимо шуканий радіус кола ІК = 2 см. Тоді ВІ = 2 - r. Маємо 
Отже, радіус вписаного кола дорівнює 3 см.