ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§12. НЕРІВНІСТЬ ТРИКУТНИКА.

 

Важливою є властивість, яку називають нерівність трикутника:

кожна сторона трикутника менша за суму двох інших сторін.

На малюнку 217: а < b + с; b < а + с; с < а + b.

 

Звідси можна зробити висновок: а > b - с і а > с - b.

Узагальнюючи це отримаємо: а > lb - сl. Отже, кожна сторона трикутника менша за суму двох інших сторін, але більша від модуля їх різниця.

Приклад 1. Дві сторони трикутника дорівнюють 0,8 см і 1,6 см. Якого є довжина третьої сторони, якщо вона виражається цілим числом сантиметрів?

Розв’язання. Нехай невідома сторона дорівнює а см. Тоді 1,6 - 0,8 < а < 1,6 + 0,8 або 0,8 < а < 2,4. Оскільки а - ціле число, то а = 1 (см) або а = 2 см. Отже, третя сторона трикутника може дорівнювати 1 см або 2 см.

Приклад 2. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 48 см, а дві його сторони відносяться, як 2 : 5. Знайдіть сторони трикутника.

Розв’язання. Позначимо сторони трикутника, відношення яких 2 : 5, 2х см і 5х см. Оскільки невідомо, яка з них є основою, а яка бічною стороною, то розглянемо два випадки.

1. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5х см, а бічна сторона - 2х см. Тоді друга бічна сторона також дорівнює 2х см. Але в цьому випадку не виконується нерівність трикутника. Справді, 2х + 2х < 5х. Цей випадок неможливий.

2. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 2х см, а бічна сторона - 5х см. Тоді друга бічна сторона також дорівнює 5х см. У цьому випадку нерівність трикутника виконується.

Отже, за умовою задачі маємо рівняння: 2х + 5х + 5х = 48, 12x = 48, х = 4 см. Основа трикутника дорівнює 2 ∙ 4 = 8 (см), а бічна сторона: 5 4 = 20 (см).