Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ
§15. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК.
1. Основні елементи та властивості прямокутного трикутника.
Нагадаємо, що трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.
На малюнку 224 прямокутний трикутник АВС, у нього 
C = 90°. Сторону прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута, називають гіпотенузою, а дві інші сторони - катетами.
Розглянемо властивості прямокутного трикутника.
1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
На малюнку 224: A + B = 90°.
2. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який його катет.
На малюнку 224: АВ > АС, АВ > ВС.
3. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.
Якщо A = 30° (мал. 224), то ВС = AB/2.
4. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.
Якщо ВС = AB/2 (мал. 224), то A = 30°.
5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.
На малюнку 225: СМ - медіана, СМ = AB/2. Оскільки АМ = ВМ = AB/2, то АМ = ВМ = СМ.
Приклад 1. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з одним із катетів кут, що дорівнює 40°. Знайдіть гострі кути трикутника.
Розв’язання (мал. 226). 1) СК - висота прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи. За умовою: КСВ = 40°.
2) У трикутнику ВКС: В = 180° - (90° + 40°) = 50°.
3) У трикутнику АСВ: А = 90° - В = 90° - 50° = 40°.
4) Отже гострі кути трикутника дорівнюють 50° і 40°.
Приклад 2. У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а бісектриса цього кута дорівнює 4 см. Знайдіть довжину катета, що лежить проти цього кута.
Розв’язання. 1) Нехай трикутник АВС - прямокутний; С = 90°; САВ = 60°; АК - бісектриса; АК = 4 см (мал. 227).
2) САК = 60°/2 = 30°. у трикутника АСК за властивістю катета, що лежить проти кута 30° маємо СК = AF/2 = 4/2 = 2 (см).
3) В трикутнику АВС: В = 90° - А = 90° - 60° = 30°.
4) КАВ = 60°/2 = 30°. Тому трикутник АКВ - рівнобедрений і КВ = АК = 4 (см).
5) Тоді СВ = СК + КВ = 2 + 4 = 6 (см).