Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§15. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК.

1. Основні елементи та властивості прямокутного трикутника.


Нагадаємо, що трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.

На малюнку 224 прямокутний трикутник АВС, у нього C = 90°. Сторону прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута, називають гіпотенузою, а дві інші сторони - катетами.



Розглянемо властивості прямокутного трикутника.

1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

На малюнку 224: A + B = 90°.

2. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який його катет.

На малюнку 224: АВ > АС, АВ > ВС.

3. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Якщо A = 30° (мал. 224), то ВС = AB/2.

4. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

Якщо ВС = AB/2 (мал. 224), то A = 30°.

5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

На малюнку 225: СМ - медіана, СМ = AB/2. Оскільки АМ = ВМ = AB/2, то АМ = ВМ = СМ.



Приклад 1. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з одним із катетів кут, що дорівнює 40°. Знайдіть гострі кути трикутника.

Розв’язання (мал. 226). 1) СК - висота прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи. За умовою: КСВ = 40°.



2) У трикутнику ВКС: В = 180° - (90° + 40°) = 50°.

3) У трикутнику АСВ: А = 90° - В = 90° - 50° = 40°.

4) Отже гострі кути трикутника дорівнюють 50° і 40°.

Приклад 2. У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а бісектриса цього кута дорівнює 4 см. Знайдіть довжину катета, що лежить проти цього кута.

Розв’язання. 1) Нехай трикутник АВС - прямокутний; С = 90°; САВ = 60°; АК - бісектриса; АК = 4 см (мал. 227).



2) САК = 60°/2 = 30°. у трикутника АСК за властивістю катета, що лежить проти кута 30° маємо СК = AF/2 = 4/2 = 2 (см).

3) В трикутнику АВС: В = 90° - А = 90° - 60° = 30°.

4) КАВ = 60°/2 = 30°. Тому трикутник АКВ - рівнобедрений і КВ = АК = 4 (см).

5) Тоді СВ = СК + КВ = 2 + 4 = 6 (см).






Personalised Essay Writing Service for You

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити