МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§15. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК.

1. Основні елементи та властивості прямокутного трикутника.

 

Нагадаємо, що трикутник називається прямокутним, якщо один з його кутів прямий.

На малюнку 224 прямокутний трикутник АВС, у нього C = 90°. Сторону прямокутного трикутника, яка лежить проти прямого кута, називають гіпотенузою, а дві інші сторони - катетами.

 

 

Розглянемо властивості прямокутного трикутника.

1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

На малюнку 224: A + B = 90°.

2. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який його катет.

На малюнку 224: АВ > АС, АВ > ВС.

3. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

Якщо A = 30° (мал. 224), то ВС = AB/2.

4. Якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°.

Якщо ВС = AB/2 (мал. 224), то A = 30°.

5. У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині.

На малюнку 225: СМ - медіана, СМ = AB/2. Оскільки АМ = ВМ = AB/2, то АМ = ВМ = СМ.

 

 

Приклад 1. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, утворює з одним із катетів кут, що дорівнює 40°. Знайдіть гострі кути трикутника.

Розв’язання (мал. 226). 1) СК - висота прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи. За умовою: КСВ = 40°.

 

 

2) У трикутнику ВКС: В = 180° - (90° + 40°) = 50°.

3) У трикутнику АСВ: А = 90° - В = 90° - 50° = 40°.

4) Отже гострі кути трикутника дорівнюють 50° і 40°.

Приклад 2. У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює 60°, а бісектриса цього кута дорівнює 4 см. Знайдіть довжину катета, що лежить проти цього кута.

Розв’язання. 1) Нехай трикутник АВС - прямокутний; С = 90°; САВ = 60°; АК - бісектриса; АК = 4 см (мал. 227).

 

 

2) САК = 60°/2 = 30°. у трикутника АСК за властивістю катета, що лежить проти кута 30° маємо СК = AF/2 = 4/2 = 2 (см).

3) В трикутнику АВС: В = 90° - А = 90° - 60° = 30°.

4) КАВ = 60°/2 = 30°. Тому трикутник АКВ - рівнобедрений і КВ = АК = 4 (см).

5) Тоді СВ = СК + КВ = 2 + 4 = 6 (см).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити