МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§15. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК.

2. Теорема Піфагора.

 

Однією із найважливіших у курсі з геометрії є теорема Піфагора:

у прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Якщо позначити ВС = а; АС = b; АВ = с (мал. 224), то теорему Піфагора можна записати так:

с2 = а2 + b2.

За допомогою теореми Піфагора, знаючи дві сторони прямокутного трикутника, можна знайти третю. Нам допоможе наступна схема:

 

 

Приклад 1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 6 см і 8 см. Знайдіть гіпотенузу.

Розв’язання. Маємо а = 6 см; b = 8 см.

Тоді

Приклад 2. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а його периметр 36 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до основи.

Розв’язання. 1) Нехай задано трикутник АВС, у якого АВ = АС: ВС = 10 см; РABC = 36 см (мал. 228).

 

 

Тоді АВ = АС = (36 - 10)/2 = 13 (см).

2) АК - висота трикутника, тому вона також є медіаною: СK = BC/2 = 10/2 = 5 (см).

3) В трикутнику АКС:

Приклад 3. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 8 см, а другий на 2 см менший за гіпотенузу. Знайдіть периметр трикутника.

Розв’язання. 1) Нехай а = 8 см - катет прямокутного трикутника (мал. 224). Позначимо другий катет b = х (см), тоді гіпотенуза с = (х + 2) см.

2) За теоремою Піфагора: с2 = а2 + b2 ; (х + 2)2 = х2 + 82; х2 + 4х + 4 = х2 + 64; 4х = 60; х = 15 см.

3) Отже, b = 15 см; с = 15 + 2 = 17 (см).

Тоді периметр трикутника Р = 8 + 15 + 17 = 40 (см).

Важливою є теорема, обернена до теореми Піфагора:

якщо в трикутнику АВС: АВ2 = АС2 + ВС2, то кут С цього трикутника прямий.

Приклад 4. Чи є прямокутним трикутник зі сторонами: 1) 7 см; 8 см; 9 см; 2) 7 см; 24 см; 25 см?

Розв’язання. 1) Оскільки 92 72 + 82 ( 81 9 + 64 ), то трикутник не є прямокутним.

2) Оскільки 252 = 72 + 242 (625 = 49 + 576), то трикутник є прямокутним.

Приклад 5. Сторони трикутника дорівнюють 12 см; 16 см і 20 см. Знайдіть медіану, проведену до найбільшої сторони трикутника.

Розв’язання. Оскільки 122 +162 = 202 (144 + 256 = 400), то трикутник є прямокутним із гіпотенузою, що дорівнює 20 см.

2) Медіана, що проведена до гіпотенузи дорівнює її половині (мал. 225), а тому дорівнює 20/2 = 10 (см).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити