ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§15. ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК.

3. Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.

Розглянемо прямокутний трикутник АВС з прямим кутом С, в якому проведено висоту СD (мал. 229). Тоді:

1) Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним проекцій катетів на гіпотенузу, тобто

СD² = АD ∙ DВ

2) Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним гіпотенузи і проекції цього катета на гіпотенузу, тобто

Приклад 1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить гіпотенузу на два відрізки 9 см і 16 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до гіпотенузи та периметр трикутника.

Розв’язання. 1) (мал. 229). DB = 9 см; АDО = 16 см.

Тоді

5) Периметр трикутника Р_∆ABC = 25 + 20 + 15 = 60 (см).

Приклад 2. Катет прямокутного трикутника дорівнює 30 см, а проекція другого катета на гіпотенузу - 32 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

Розв’язання. 1) (мал. 229) СВ = 30 см; АD = 32 см. Позначимо ВD = х.

2) Маємо ВС² = АВ ∙ ВD; 30² = (32 + x)x; x² + 32x - 900 = 0. Враховуючи х > 0, матимемо х = 18 см.

3) Тоді АВ = АD + DВ = 32 + 18 = 50 (см).