Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§16. ТЕОРЕМА КОСИНУСІВ. ТЕОРЕМА СИНУСІВ.

1. Теорема косинусів.

 

Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Отже, у довільному трикутнику АВС (мал. 232) виконуються рівності:

 

 

Радимо повторити значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°, 120°, 135°, 150° (Розділ І, §26, п. 5).

Приклад 1. У трикутнику АВС Знайдіть АВ.

Розв’язання (мал. 232).

Приклад 2. У трикутнику ABC с = 7 см; а = 5 см; C = 120° (мал. 232). Знайдіть b.

Розв’язання. Маємо квадратне рівняння відносно b: b2 + 5b - 24 = 0. Його корені: b1 =3; b2 = -8. Другий корінь не підходить. Отже, b = 3 см.

Приклад 3. Одна із сторін трикутника дорівнює 7 см, дві інші утворюють кут 60°, а їх різниця дорівнює 3 см. Знайдіть периметр трикутника.

Розв’язання. 1) Маємо с = 7 см; C = 60° (мал. 232). Позначимо b = х, тоді а = х + 3. За теоремою косинусів:

Враховуючи х >0, маємо х = 5.

2) Тоді b = 5 см, а = 5 + 3 = 8 (см).

3) Р = 7 + 5 + 8 = 20 (см).

Якщо відомі три сторони трикутника, то за теоремою косинусів можна знайти косинус будь-якого кута трикутника, а тому і сам кут. Наприклад, косинус кута С можна знайти за формулою:

Зауважимо, що:

у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, проти меншої сторони - менший кут.

Приклад 4. Знайдіть градусну міру середнього за величиною кута трикутника зі сторонами 3 см; 7 см; 8 см.

Розв’язання. 1) а = 3 см; b = 7 см; с = 8 см. Середній за величиною кут - той, що лежить проти сторони b, тобто кут В.

2) Маємо

Тому B = 60°.

Корисним є наступний факт:

Якщо с - найбільша сторона трикутника і

а2 + b2 > с2, то C - гострий, трикутник гострокутний;

а2 + b2 = с2. то C - прямий, трикутник прямокутний;

а2 + b2 < с2, то C - тупий, трикутник тупокутний.

Приклад 5. Визначте вид трикутника зі сторонами а = 5 см; b = 7 см; с = 10 см.

Розв’язання. трикутник тупокутний.









загрузка...

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат доступні данні з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

У разі запозичення інформації гіпертекстове індексоване посилання на сайт є обов'язковим

© Всі права на дизайн сайту належать ФОП СЄА