Матеріали для Нової української школи 1 клас - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

МАТЕМАТИКА. ПОВНИЙ ПОВТОРЮВАЛЬНИЙ КУРС

ЗОВНІШНЄ НЕЗАЛЕЖНЕ ОЦІНЮВАННЯ ТА ДЕРЖАВНА ПІДСУМКОВА АТЕСТАЦІЯ

ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§18. ПАРАЛЕЛОГРАМ, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛОГРАМА.

1. Означення паралелограма та його властивості.

 

Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

На малюнку 236 зображено паралелограм АВСD: АВ || СD, АD || ВС.

Розглянемо властивості паралелограма:

1) Сума будь-яких двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

2) Паралелограм є опуклим чотирикутником.

3) У паралелограмі протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.

На малюнку 236: АВ = СD, АD = ВС, A = C, B = D.

4) Периметр паралелограма РАBCD = 2(АВ + ВС).

5) Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться пополам.

 

 

На малюнку 237: точка О - точка перетину діагоналей паралелограма; АО = ОС; ВО = ОD.

6) Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.

 

 

На малюнку 234:

Приклад 1. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо сума двох з них дорівнює 140°.

Розв’язання. Оскільки сума двох кутів паралелограма дорівнює 140°, то це - протилежні кути, наприклад A і C на малюнку 236. Оскільки A = C, то

Приклад 2. У паралелограмі АВСВ бісектриса кута А ділить сторону ВС на відрізки ВК = 3 см і КС = 2 см (мал. 238). Знайдіть периметр паралелограма.

 

 

Розв’язання.

1) ВС = ВК + КС = 3 + 2 = 5 (см).

2) KAD = ВКА (як внутрішні різносторонні кути при перетині паралельних прямих АВ і ВС січною АК).

3) KAD = КАВ (за умовою), тому ВКА = КАВ. Отже, за ознакою рівнобедреного трикутника: АВК - рівнобедрений, АВ = ВК = 3 см.

4) PABCD = 2(AB + ВС) = 2(3 + 5) = 16 (см).

Приклад 3. Діагоналі паралелограма дорівнюють 7 см і 12 см, а одна із сторін на 1 см менша за другу. Знайдіть сторони паралелограма.

Розв’язання (мал. 237). 1) За умовою АС = 11 см; ВD = 7 см. Нехай АD = х см, тоді ВС = (х - 1) см.

2) За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

Враховуючи х > 0, маємо х = 7. Отже, АD = 7 см, ВС = 6 см.

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону.

На малюнку 239 MN - висота паралелограма; МN АD, ММ ВС.

З кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Наприклад, на малюнку 240 ВF і ВТ - висти паралелограма, проведені відповідно до сторін АD і СD.

 

 

Приклад 4. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведено висоти BF і ВТ (мал. 240), FBT = 65°. Знайдіть кут А паралелограма.

Розв’язання. 1) У чотирикутнику FBTD: D = 360° - (65° + 2 90°) = 115°.

2) Тоді A = 180° - D = 180° - 115° = 65°.









загрузка...

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами. Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Дозволяється копіювати матеріали з обов'язковим гіпертекстовим посилання на сайт, будьте вдячними ми затратили багато зусиль щоб привести інформацію у зручний вигляд.

© 2008-2019 Всі права на дизайн сайту належать С.Є.А.