ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§19. ПРЯМОКУТНИК, ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ. ОЗНАКИ ПРЯМОКУТНИКА.

1. Означення прямокутника та його властивості.

 

Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі (мал. 242).

Розглянемо властивості прямокутника:

1) У прямокутнику протилежні сторони попарно рівні.

На малюнку 242: АВ = СD, АD = ВС.

2) Периметр прямокутника Р_АВCD = 2(АВ + ВС).

3) Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться пополам.

На малюнку 243: АС = ВD і АО = ОС, ВО = DО. Оскільки АС = ВD, то матимемо АО = ВО = СО = DО. Тому маємо наступну властивість.

4)  Точка перетину діагоналей прямокутника рівновіддалена від усіх його вершин.

5)  Приклад 1. Діагональ прямокутника ділить його кут у відношенні 4:5. Знайдіть кут між діагоналями даного прямокутника.

 

 

Розв’язання. 1) (мал. 243). Нехай АDО : ОDС = 4 : 5. Позначимо АDО = 4х, ОDС = 5х. Тоді 4х + 5х = 90°; х = 10°. Тому АDО = 4 ∙ 10° = 40°; ОDС = 5 ∙ 10° = 50°.

2) ∆ОСD - рівнобедрений (бо ОD = ОС). Тому ОСD = ОDС = 50°. У ∆ОСD: ОСD = 180° - 2 ∙ 50° = 80°. Отже, кут між діагоналями даного прямокутника дорівнює 80°.

Приклад 2. У прямокутнику АВСD діагоналі перетинаються в точці О. ОР - бісектриса трикутника АОВ, DОР = 160°. Знайдіть САВ.

Розв’язання (мал. 244).

 

 

1) РОВ = 180° - 160° = 20°.

2) Оскільки ОР - бісектриса ∆АОВ, то ВОА = 2 ∙ 20° = 40°.

3) ∆АОВ - рівнобедрений (бо АО = ОВ), тому

Приклад 3. Периметр прямокутника дорівнює 34 см, а його діагональ 13 см. Знайдіть сторони прямокутника.

Розв’язання. 1) Нехай сторони прямокутника дорівнюють а см і b см.

Тоді 2(а + b) = 34, тобто а + b = 17 і

2) Маємо систему

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 5 см і 12 см.