Математика. Повний повторювальний курс. Підготовка до ЗНО та ДПА
ГЕОМЕТРІЯ
Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ
§23. ВПИСАНІ В КОЛО ТА ОПИСАНІ НАВКОЛО КОЛА ЧОТИРИКУТНИКИ.
1. Чотирикутник вписаний в коло.
Чотирикутник називають вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на колі. (мал. 265). Коло при цьому називають описаним навколо чотирикутника.
Властивості вписаного чотирикутника.
1) Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°.
На малюнку 265: 
A + C = 180°; B + D = 180°. Таким чином, у вписаному чотирикутнику A + C = B + D.
2) Якщо трапеція є вписаним чотирикутником, то вона рівнобічна.
Приклад 1. Знайдіть кути А і В чотирикутника АВСD, вписаного в коло, якщо C = 117°; D = 67°.
Розв’язання. A = 180° - C = 180° - 117° = 63°;
B = 180° - D = 180° - 67° = 113°.
Приклад 2. Трапеція вписана у коло, радіус якого 10 см, так, що діаметр є більшою основою трапеції. Знайдіть периметр трапеції, якщо її менша основа дорівнює бічній стороні.
Розв’язання. 1) Нехай трапеція АБСD вписана у коло вказаним способом, точка О - центр кола; О
АD. Тоді АD = 2 ∙ АО = 2 ∙ 10 = 20 (см).
2) ∆АОВ = ∆ВОС = ∆СОD (за трьома сторонами).
Тому 
3) Оскільки ∆АОВ - рівнобедрений і АОВ = 60°, то 
тобто ∆АОВ - рівносторонній.
АВ = АО = 10 см.
4) Тоді ВС = АВ = 10 см і СD = АВ = 10 см.
5) Периметр трапеції РАВС D = AD + 3 ∙ АВ = 20 + 10 ∙ 3 = 50 (см).
Ознаки вписаного чотирикутника. Якщо в чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180°, то навколо такого чотирикутника можна описати коло.
З цієї ознаки слідує, що:
1) навколо будь-якого прямокутника можна описати коло;
2) навколо рівнобедреної трапеції можна описати коло.