ГЕОМЕТРІЯ

Розділ І. ПЛАНІМЕТРІЯ

§24. МНОГОКУТНИК.

2. Опуклий многокутник. Сума кутів описаного многокутника.

 

Якщо всі кути многокутника менші за розгорнутий, то многокутник називають опуклим, якщо хоч один кут многокутника більший за розгорнутий, то многокутник називають неопуклим. На малюнку 270 зображено опуклий многокутник, а на малюнку 269 — неопуклий.

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180°(n - 2).

Приклад 1. Чи існує опуклий многокутник; у якого сума кутів дорівнює: 1) 1980°; 2) 3610°?

Розв’язання. 1) Припустимо, що існує n-кутник, у якого сума кутів дорівнює 1980°. Тоді 180º (n - 2) = 1980°; n - 2 = 11; n = 13. Отже, існує многокутник, у якого сума кутів дорівнює 1980. Це 13-кутник.

2) По аналогії з попереднім випадком, маємо 180º (n - 2) = 3610°; n - 2 = 20 ∙ 1/18 ; n = 22 ∙ 1/18. Оскільки n N, то не існує опуклого многокутника, у якого сума кутів дорівнює 3610º.

Кути опуклого многокутника іноді називають ще внутрішніми кутами многокутника. Кут, суміжний з внутрішнім кутом многокутника, називають зовнішнім кутом многокутника.

Сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.

Приклад 2. Знайдіть кількість діагоналей опуклого n-кутника, якщо сума його зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, на 1800º менша за суму внутрішніх кутів.

Розв’язання. 1) Оскільки сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, то за умовою задачі можна знайти суму внутрішніх кутів n-кутника: 360° + +1800º = 2160º.

2) Маємо рівняння 180º(n - 2) = 2160°; n - 2 = 12; n = 14. Маємо чотирнадцятикутник.

3) Кількість його діагоналей дорівнює